Função holomorfa: diferenças entre revisões
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'''Funções holomorfas''' são o [[objeto]] central do estudo da [[análise complexa]]. Estas [[funções]] são definidas sobre um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] do [[número complexo|plano de número complexo]] '''C''' com valores em '''C''' que são diferenciáveis em cada [[ponto (matemática)|ponto]].<ref name="friedman.2.4">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.4 ''The Cauchy-Riemann equations'' [http://www.math.columbia.edu/~rf/complex2.pdf <nowiki>[em linha]</nowiki>]</ref>
Esta condição é muito mais forte que a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]] e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua [[série de Taylor]]. O termo '''''[[função analítica]]''''' é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",<ref name="friedman.2.4" /> entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz [[função inteira]]. A frase "holomorfa em um ponto ''a''" significa não só diferenciável em ''a'', mas diferenciável em algum disco aberto centrado em ''a'', no plano complexo. == Definição ==
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:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }</math>
existir.<ref name="friedman.2.4" />
Este limite se toma aqui sobre todas as [[seqüência|sucessões]] de números complexos que se aproximam de ''z''<sub>0</sub>, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número ''f'' '(''z''<sub>0</sub>). Intuitivamente, se ''f'' é diferenciável complexa em ''z''<sub>0</sub> e nas proximidades ao ponto ''z''<sub>0</sub> da direção ''r'', então as imagens se aproximarão ao ponto ''f''(''z''<sub>0</sub>) a partir da direção ''f'' '(''z''<sub>0</sub>) ''r'', onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]]: é [[transformação linear|linear]] e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.<ref name="friedman.2.4" />
Se ''f'' é complexa diferenciável em cada ponto ''z''<sub>0</sub> em ''U'', dizemos que ''f'' é ''holomorfa em U''.<ref name="friedman.2.4" />
== {{Ver também}} ==
* [[Função antiholomorfa]]
{{referências}}
{{Esboço-matemática}}
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