Vetor (matemática): diferenças entre revisões

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Em [[geometria analítica]], um '''vetorvector espacial''', ou simplesmente '''vetorvector''', é uma [[Classe (teoria dos conjuntos)|classe]] de elementos geométricos, denominados ''[[segmento de recta|segmentos de reta]] orientados'', que possuem todos a mesma intensidade (denominada norma ou [[valor absoluto|módulo]]), mesma direção e mesmo sentido<ref name=santos>[http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt1.pdf SANTOS, Reginaldo J. ''Matrizes, Vetores e Geometria Analítica''. Minas Gerais: UFMG, 2010. 709 págs]. [[ISBN]] 85-7470-014-2. Acesso em 17 jan. 2011.</ref>.

Neste contexto, um vetorvector <math>_\vec a</math> pode ser representado por qualquer segmento de reta <u>orientado</u> que seja membro da classe deste vetorvector (ou seja: pode ser representado por qualquer segmento de reta orientado que possua mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido de qualquer outro segmento da referida classe). E se o segmento <math>_\vec {AB}</math> (segmento de reta orientado do ponto A para o ponto B) for um representante do vetorvector <math>_\vec a</math>, então podemos dizer que o vetorvector <math>_\vec a</math> é <u>igual</u> ao vetorvector <math>_\vec {AB}</math>.

De maneira mais formal, um vetorvector é definido como sendo uma classe de [[equipolência]] de segmentos de reta orientados de <math>\mathbb{V}^n</math><ref name=cruz>[http://wwwp.fc.unesp.br/~lfcruz/GA_cap_01.pdf CRUZ, Luiz Francisco da. ''Cálculo VetorialVectorial e Geometria Analítica'']. Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da [[UNESP]], Cap. 1, pág. 5. Acesso em 09/05/2011.</ref>, em que <math>\mathbb{V}^n</math> representa um [[espaço vetorialvectorial]] de n dimensões. Assim sendo, em um espaço vetorialvectorial de 3 dimensões (<math>\mathbb{V}^3</math>), cada vetorvector será dotado de três coordenadas, comumente denominadas '''x''', '''y''' e '''z'''.

Quando falamos em distância geométrica "de A para B", podemos imaginar que o ponto A está sendo "carregado" até chegar ao ponto B{{nota de rodapé|De fato, a palavra [[Latim|latina]] ''[[wikt:vetorvector#Etimologia|vectore]]'' significa "aquele que carrega".}}

Muitas [[Operação (matemática)|operações algébricas]] nos [[Número real|números reais]] possuem formas [[analogia|análogas]] para vetoresvectores. VetoresVectores podem ser [[adição|adicionados]], [[subtração|subtraídos]], [[Multiplicação|multiplicados]] por um número e invertidos. Essas operações obedecem às conhecidas leis da álgebra: [[comutatividade]], [[associatividade]] e [[distributividade]]. A soma de dois vetores com o mesmo ponto inicial pode ser encontrada geometricamente usando a [[regra do paralelogramo]]. A multiplicação por um número positivo (comumente chamado ''[[escalar]]''), nesse contexto, se resume a alterar a magnitude do vetorvector, isto é, alongando ou encurtando-o porém mantendo o seu sentido. A multiplicação por -1 preserva a magnitude mas inverte o sentido. As [[coordenadas cartesianas]] fornecem uma maneira sistemática de descrever e operar vetoresvectores.

Os vetoresvectores desempenham um papel importante na [[física]]: [[velocidade]] e [[aceleração]] de um objeto e as [[força]]s que agem sobre ele são descritas por vetoresvectores. É importante ressaltar, no entanto, que os componentes de um vetorvector físico dependem do [[sistema de coordenadas]] usado para descrevê-lo. Outros objetos usados para descrever quantidades físicas são os pseudo-vetoresvectores e [[tensor]]es.

Os vetoresvectores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como [[física]], [[engenharia]] e [[economia]], por exemplo, sendo os elementos a partir dos quais se constrói o [[Cálculo VetorialVectorial]].

== Módulo ou norma do vetorvector - <math>||\vec{a}||</math> ==

Módulo do vetorvector é seu comprimento (na figura, seria a distância AB).

== Operações com vetoresvectores ==

[[Ficheiro:Vector Addition.png|thumb|right|Adição vetorialvectorial pela regra do paralelogramo.]]

[[File:Regra do triângulo.jpg|thumb|Adição vetorialvectorial pela regra do triângulo.]]

: <math> |c . \vec {a}| = |c|.|\vec {a}|</math> (há alteração na magnitude do vetorvector e manutenção do sentido se c > 0 e inversão do sentido se c < 0, sem que haja troca de direção).

: <math>\vec {a}. \vec {b} = ||\vec {a}||.||\vec {b}|| \cos \theta</math> (ocorre entre dois vetoresvectores e o resultado é um [[escalar]], <math>\theta</math> é o ângulo entre os vetoresvectores <math>\vec {a}</math> e <math>\vec {b}</math>.)

; Produto VetorialVectorial

O resultado de um produto vetorialvectorial é também um vetorvector. Sua norma pode ser calculada por <math>||\vec {a} x \vec {b}|| = ||\vec {a}||.||\vec {b}|| \sin \theta</math>, em que <math>\theta</math> é o ângulo entre os vetoresvectores <math>\vec {a}</math> e <math>\vec {b}</math>. A direção do vetorvector [[produto vetorialvectorial]] é sempre perpendicular ao plano que contém os vetoresvectores <math>\vec {a}</math> e <math>\vec {b}</math> e seu sentido é definido pela [[regra da mão direita]].

Um vetorvector poderia ser dado pelas suas propriedades sobre diferentes mudanças de sistema coordenadas. Também é possível generalizar esta definição para espaços não euclidianos com várias dimensões. Por exemplo, em [[geometria diferencial]] um vetorvector pode ser definido como uma derivada de uma curva e desta forma possui uma definição livre da escolha de um sistema específico de coordenada.

Uma definição diferencial também mostra que um vetorvector é um caso específico de um objeto mais genérico chamado [[tensor]].

Versores podem ser utilizados como [[Base (álgebra linear)|bases]] de um dado [[espaço vetorialvectorial]] <math>\mathbb{V}^n</math>. A condição necessária e suficiente para tanto, é que tais versores sejam [[linearmente independentes]] entre si. Uma propriedade altamente conveniente é que todo vetorvector pertencente ao espaço vetorialvectorial <math>\mathbb{V}^n</math> de bases <math>(\vec {a_1} ,\vec {a_2}, ...,\vec {a_n})</math> pode ser expresso como uma [[combinação linear]] dos versores base. Assim, dado um vetorvector genérico <math>\vec {b}</math>, temos que <math>\vec {b} = k_1 \vec {a_1} + k_2 \vec {a_2} + ... + k_n \vec {a_n}</math>, em que <math>k_i</math> são números reais.