Norma (matemática): diferenças entre revisões
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[[Imagem:Vector norms.png|thumb|Uma circunferência centrada na origem de <math>\R^2</math> relativa a três normas distintas]]
Em [[matemática]], uma '''norma''' consiste em uma [[função]] que a cada [[Vetor (matemática)|vetor]] de um [[espaço vetorial]] associa um [[número real]] não-negativo. O conceito de ''norma'' está intuitivamente relacionado à noção geométrica de ''comprimento''.
==Definição==
*<math>\|\vec x\| = 0 \Rightarrow \vec x = \vec 0</math>. Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma [[seminorma]].
*<math>\|\vec x + \vec y\| \le \|\vec x\|+\|\vec y\|
Se o [[espaço vetorial]] <math>X</math> tem uma '''norma''', ele passa a ser chamado de [[espaço normado]], e denotado por <math>\left(X, \| \cdot \|\right)</math>.
▲*<math>\|\vec x + \vec y\| \le \|\vec x\|+\|\vec y\|, ~~\forall \vec x , \vec y \in X \,</math> ([[desigualdade triangular]])
O [[espaço vetorial]] que tem uma '''norma''' se chama [[espaço normado]]. Neste caso, o espaço normado será denotado por (<math>X\,</math>, <math>\|.\|\,</math>) <ref>SANTOS, José Carlos. '''Introdução à Topologia'''. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. </ref>.▼
==Métrica e topologia induzida==
Toda norma induz de forma natural uma [[Métrica (matemática)|métrica]]
Também induz uma [[espaço topológico|topologia]] [[espaço localmente convexo|localmente convexa]] que é gerada por todas as [[bola]]s:
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As normas [[canônica]]s definidas nestes espaços são as chamadas '''normas <math>\ell^p</math>''':
*<math>\|\vec x\|_p=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{1/p}~~, 1\leq p<\infty</math>
*<math>\|\vec x\|_\infty=\max_{i=1}^n(|x_i|)</math>
O caso particular em que <math>p = 2
:<math>\|\vec x\|_2=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^2\right)^{1/2}</math>
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==Norma matricial==
{{artigo principal|Norma matricial}}
Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem <math>n\times m</math>, denotado por <math>M^{n\times m}</math>, uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma ''1'', denotada <math>\|.\|_1</math> definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se <math>A = \left[ a_{ij} \right]_{r \times s}\,</math> então a norma do máximo da matriz <math>A\,</math> é o número não negativo dado por
▲#<math>\|\lambda A\|=|\lambda|\|A\|\,</math>
▲#<math>\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|\,</math>
A norma do máximo da matriz <math>A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}\,</math>, por exemplo, é
:<math>\| A \|_1 = \max \left\{ |1| + |3|, |2| + |-1| \right\} = \max \left\{4, 3\right\} = 4.</math>
==Normas em espaços de dimensão infinita ==
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As normas <math>\ell^p</math> têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.
== Notas ==
{{Referências}}▼
<references/>
▲
* {{Citar livro|autor=Boldrini, José Luiz ''et. al''|título=Álgebra Linear |página=342 |edição=3ª |editora=Harbra}}
=={{Ver também}}==
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*[[Espaço vetorial topológico]]
*[[Funcional de Minkowski]]
*[[
[[Categoria:Álgebra linear]]
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