Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder: diferenças entre revisões
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Em [[teoria de conjuntos]], o '''Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder''', assim chamado em homenagem a [[Georg Cantor]], [[Felix Bernstein]] e [[Ernst Schröder]], estabelece que se existem [[função injetiva|funções injetivas]] ''f'' : ''A'' → ''B'' e ''g'' : ''B'' → ''A'' entre os conjuntos ''A'' e ''B'', então existe uma [[bijeção|função bijetiva]] ''h'' : ''A'' → ''B''. Em termos da [[cardinal
Este teorema não depende do [[axioma da escolha]].
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Esta demonstração faz uso do conjunto dos números naturais, cuja existência é um dos axiomas da Teoria dos Conjuntos (o [[axioma do infinito]])<ref>[http://www.mathpath.org/proof/Sch-Bern/proofofS-B.htm Ver esta demonstração, exemplificada com gráficos]</ref>
Para cada <math>n\in\mathbb{N}</math> definimos <math>h_n : A \to A</math>, por <math>h_n=(gof)^n</math>, composição de ''n'' fatores iguais a <math>gof</math>. Observamos que <math>h_0=Id_A</math>. Note que o fato de <math>g</math> e <math>f</math> serem injetivas implica a injetividade de <math>h_n</math>.
Agora consideramos <math>X\subset A</math>, dado por
<math>X=\{a\in A; \mbox{ existe } n\in\mathbb{N} \mbox{ com } h_n^{-1}(a)\not\in im(g)\}</math>.
Note que se <math>a\not\in im(g)</math>, então tomando <math>n=0</math> segue que <math>h_0^{-1}(a)\not\in Im(g)</math>, ou seja, <math>a\in X</math>. Equivalentemente, se <math>a\not\in X</math> temos que <math>a\in Im(g)</math>. Por outro lado, observamos que dado <math>b\in B</math>, se tivermos <math>g(b)\in X</math>, então <math>b\in Im(f)</math> e ocorre <math>f^{-1}(b)\in X</math>. De fato, se <math>g(b)\in X</math> então existe <math>n\in\mathbb{N}</math> tal que <math>h_n^{-1}(g(b))\not\in Im(g)</math>. É claro que <math>n\neq 0</math> e nesse caso podemos escrever
<math>h_n^{-1}(g(b))=h_{n-1}^{-1}o(gof)^{-1}(g(b))=h_{n-1}^{-1}(f^{-1}(g^{-1}(g(b))))
= h_{n-1}^{-1}(f^{-1}(b))</math>.
Logo <math>h_{n-1}^{-1}(f^{-1}(b))\not\in Im(g)</math>, donde segue que <math>f^{-1}(b)\in X</math>
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== Demonstração de Banach ==
[[Stefan Banach]] observou que o que a demonstração acima faz é decompor cada conjuntos ''A'' e ''B'' em duas partes disjuntas, de forma que a função ''f'' transforma (bijetivamente) uma parte de ''A'' em uma parte de ''B'', e ''g<sup>-1</sup>'' transforma (bijetivamente) a outra parte de ''A'' na outra parte de ''B''.<ref name="banach">[http://www.hinkis.org/HTML_pages/..%5CMathematical_papers%5C15_01_Banach_CBT_02.pdf Banach's proof of the Cantor-Bernstein theorem]</ref>
Mais precisamente:
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A demostração encontra-se na referência<ref name="banach" />
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▲* ''Proofs from THE BOOK'', p. 90. ISBN 3540404600
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▲* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3156 Proof of the Bernstein–Schroeder theorem] no [[PlanetMath]]
▲* [http://www.mathpath.org/proof/Sch-Bern/proofofS-B.htm MathPath] - Explicação e notas sobre a prova do teorema de Cantor-Bernstein
* ''Àlgebra para Graduação'', Lang, S. Ed. Ciência moderna
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[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]
[[Categoria:Teoremas de matemática]]
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