Teorema de Liouville: diferenças entre revisões
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O '''teorema de Liouville''' é um [[teorema]] de [[análise complexa]] que diz que uma função [[números complexos|complexa]] [[função inteira|inteira]] e [[função limitada|limitada]] é [[função constante|constante]]. Este teorema permite demonstrar o [[teorema fundamental da álgebra]] de forma simples.
== Demonstrações ==
Em ambas as demonstrações, seja ''M'' um majorante de |''f''|.
=== Primeira demonstração ===
Seja ''z'' ∈ '''C'''. Para cada ''r'' > |''z''|, tem-se, pelas [[desigualdades de Cauchy]] (com ''n'' = 1), |''f′''(''z'')| < ''M''/''r''. Mas então
:<math>|f'(z)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.</math>
Logo, ''f′''(''z'') = 0. Como isto acontece para cada ''z'' ∈ '''C''', ''f'' é constante.
=== Segunda demonstração ===
Sejam ''z'' e ''w'' números complexos e seja ''r'' um número real tal que |''z''|,|''w''| ≤ ''r''. Seja
:<math>\begin{array}{rccc}\gamma(r)\colon&[0,2\pi]&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&t&\mapsto&re^{it}.\end{array}</math>
Linha 17 ⟶ 19:
:<math>|f(z)-f(w)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac{r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)}=0.</math>
== Corolário ==
O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante ''f'' não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um [[conjunto denso]]. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de ''f'' não era densa. Então haveria algum número complexo ''w'' e algum ''r'' > 0 tal que a imagem de ''f'' não conteria nenhum elemento do disco de centro ''r'' centrado em ''w''. Mas então se se definisse
:<math>\begin{array}{rccc}g\colon&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&z&\mapsto&\frac1{w-f(z)},\end{array}</math>
Linha 23 ⟶ 25:
:<math>|g(z)|=\left|\frac1{w-f(z)}\right|=\frac1{|w-f(z)|}<\frac1r,</math>
pelo que ''g'' seria limitada, o que contradiz o teorema de Liouville.
== Generalizações ==
Um teorema mais forte do que o teorema de Liouville é o pequeno teorema de Picard, que afirma que se ''f'' é uma função inteira não constante, então a sua imagem é '''C''' ou '''C''' \ {''a''}, para algum ''a'' ∈ '''C'''. Um teorema ainda mais forte é o grande teorema de Picard, que afirma que se ''f'' for uma função inteira não polinomial e se ''w'' ∈ '''C''', então a equação ''f''(''z'') = ''w'' tem uma infinidade de soluções com, quando muito, uma excepção.
== {{Bibliografia}} ==
* L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.
* J. Conway, Functions of One Complex Variable, Berlin: Springer-Verlag, 1978.
* R. Remmert, Classical Topics on Complex Function Theory, Berlin: Springer-Verlag, 1998.
{{Portal3|Matemática}}
{{DEFAULTSORT:Teorema Liouville}}
[[Categoria:Análise complexa]]
[[Categoria:Teoremas de matemática|Liouville]]
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