Valor esperado: diferenças entre revisões
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== Definição matemática ==
=== Esperança de uma variável aleatória ===▼
▲===Esperança de uma variável aleatória===
Para uma [[variável aleatória discreta]] X com valores possíveis <math>x_1, x_2, x_3, \ldots </math> e com as suas probabilidades representadas pela função <math>p(x_i)</math>, o valor esperado calcula-se pela série:
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:<math>E[g(X)] \neq g(E[X])\,</math>
=== Esperança de variáveis aleatórias de mais de uma dimensão ===
Para o caso mais geral de <math>\mathbf{X}\,</math> ser uma [[variável aleatória]] de mais de uma dimensão, e com <math>\mathbf{g}\,</math> assumindo valores em um [[espaço vetorial]] normado, temos:
:<math>E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\sum_{i=1}^{\infty} p(\mathbf{x_i}) \mathbf{g}(\mathbf{x_i})\,</math>
e
:<math>E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\int_{\Omega} \mathbf{g} dP\,</math>, em que a [[integral de Lebesgue]] é usada.
== Exemplos ==
* a [[variável aleatória]] X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
* a [[variável aleatória]] X dada por <math>p(X = (-10)^n) = (1/2)^n\,</math> para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
* Seja um [[vetor]] aleatório Y de dimensão nX1, cujos componentes são as [[variável aleatória|variáveis aleatórias]] <math>Y_1,...,Y_n</math>. A esperança de Y, <math>E[Y]</math>, é um vetor nX1 cujos componentes são as esperanças das [[variável aleatória|variáveis aleatórias]] que compunham Y. Ou seja,
:<math>Y=\begin{bmatrix} Y_{1} \\ \vdots \\ Y_{n} \end{bmatrix} \rightarrow E[Y] = \begin{bmatrix} E[Y_{1}] \\ \vdots \\ E[Y_{n}] \end{bmatrix}</math>.
== Propriedades do valor esperado ==
Nas seguintes propriedades, <math>X, Y</math> são variáveis aleatórias, <math>a, b, c</math> são constantes.
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== Operador esperança ==
O
▲O [[valor esperado]] de uma [[combinação linear]] de [[variável aleatória|variáveis aleatórias]] é a combinação linear dos seus valores esperados:
: <math>E[a X + b Y] = a E[X] + b E[Y]\,</math>
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== Esperança do produto ==
No caso geral, temos que
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: <math>E[X Y] = E[X] E[Y]\,</math>
== Esperança condicional ==
Seja uma [[variável aleatória]] <math>X: {\color{Red}\Omega} \rightarrow \mathbb{R} </math> e uma [[sigma-álgebra]] <math>{\color{Magenta}\tau} </math> no [[espaço amostral]] <math>{\color{Red}\Omega} </math>. A '''esperança condicional''' de X, dado <math>{\color{Magenta}\tau} </math>, é a [[variável aleatória]] <math>Z: {\color{Red}\Omega} \rightarrow \mathbb{R} </math> tal que
:<math>Z=E \left [ X | {\color{Magenta}\tau} \right ] </math><ref>SILVA, Marcos Eugênio da. '''Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais'''. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf></ref> <math> = \sum_{i=1}^{n} x_i P \left [ X = x_i | {\color{Magenta}\tau} \right ]</math>
Esta variável Z tem as seguintes propriedades:
* Z não contém mais informação que a contida em <math>{\color{Magenta}\tau}: \sigma \left ( Z \right ) \sub {\color{Magenta}\tau} </math>. Ou seja, a [[variável aleatória]] (que é sempre uma [[função]]) <math> \varpi \rightarrow Z \left ( \varpi \right ) </math> é mensurável com relação a <math>{\color{Magenta}\tau} </math> (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a <math>{\color{Magenta}\tau} </math>) <ref>SILVA, Marcos Eugênio da. '''Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais'''. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf></ref>
* Z satisfaz a relação <math>E(X( \varpi ).I_A) </math> <math>= E \left [ Z \left ( \varpi \right ).I_A \right ] \forall A \in {\color{Magenta}\tau}</math>, onde <math>I_A</math> é uma [[função indicadora|variável indicadora]], que vale 1 se <math>\varpi \in A </math> e 0 se <math>\varpi \not\in A </math>.
{{Referências}}
{{Estatística}}
{{DEFAULTSORT:Valor Esperado}}
[[Categoria:Estatística]]
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