Princípio de Hamilton: diferenças entre revisões

A primeira formulação formal de um princípio de extremo no campo da mecânica se deve a [[Pierre-Louis Moreau de Maupertuis]] ([[1744]]), que disse que a "natureza é econômica em todas as suas ações". Seu princípio extremizava o que hoje se conhece por [[ação reduzida]], que envolvia apenas um termo diretamente proporcional à energia cinética, e não a lagrangeanalagrangiana conforme hoje encontrada no princípio de Hamilton. A ideia geral é contudo antiga, e há milênios Heros de Alexandria (10 -70 DC) já havia proposto o conceito de raios de luz e que essa viaja sempre em linha reta quando em meio homogêneo, em clara alusão a um princípio de menor distância entre dois pontos; princípio no futuro ampliado por [[Pierre de Fermat]], que introduziu a ideia de que os raios de luz, em situações ópticas tais como a [[refração]] e a [[reflexão (física)|reflexão]], seguem um princípio de ''menor tempo'', princípio esse válido ainda hoje e atualmente conhecido como [[princípio de Fermat]] em sua homenagem <ref group = "Ref." name = "TopicoMecAguiar"/> .

Em termos históricos [[Jean le Rond d'Alembert|D'Alembert]] havia formulado um ano antes o [[princípio de d'Alembert]] e o conceito de trabalho virtual, o que permitiu generalizar-se as [[leis de Newton]] no que denomina-se atualmente por mecânica lagrangeanalagrangiana, fazendo-o de forma a permitir cálculos com escalares ao invés de vetores e a resolução de problemas envolvendo vínculos, cujas forças não são a priori conhecidas, entre outros. A mecânica de Lagrange conduziu automaticamente a equações notoriamente vinculadas ao princípio de extremo<ref group="Ref." name="ClassicalMechGoldstein"/>.

Entre os que deram prosseguimento ao desenvolvimento da idéia de Maupertuis se incluem [[Leonhard Euler|Euler]] e [[Gottfried Leibniz|Leibniz]]. A formulação moderna do princípio de extremo no campo da mecânica conforme hoje adotada, com base na lagrangeanalagrangiana L = T - U, deve-se contudo a [[William Rowan Hamilton]] (1805-1865)<ref group = "Ref." name = "TopicoMecAguiar"/> .

Partindo-se do princípio de extremização da ação, esse conduz diretamente à formulação [[Mecânica hamiltoniana|hamiltoniana]] e por conseguinte, via [[Transformada de Legendre]] e/ou formalismo matemático adequado, também à formulação [[Mecânica de Lagrange|lagrangeanalagrangiana]] da mecânica clássica <ref group="Ref." name="ClassicalMechGoldstein"/>.

:<math> L_{(q_i,\dot{q}_i,t)} \,</math> é a [[lagrangiana|função lagrangeanalagrangiana]] do sistema, definida por L = T - U, com T representando a energia cinética e U a energia potencial generalizada do sistema.

a partir das quais, uma vez conhecida a lagrangeanalagrangiana do sistema como função das coordenadas generalizadas, pode-se determinar as equações diferenciais que levam diretamente aos <math> q_{i(t)} </math> procurados.