Continuidade uniforme: diferenças entre revisões
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Referenciando com texto de 1808 (!!!). Não achei nada mais recente para passar o Rolo Compressor de Jimbo, mas é menos um lixão {{sem-fontes}} |
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'''Continuidade uniforme''' é um importante conceito [[matemática|matemático]] com numerosas aplicações sobretudo na [[análise real]] e na [[análise funcional]].
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==Definição==
No livro ''An Elementary Course in Analytic Geometry'', de 1808, [[John Henry Tanner]] e [[Joseph Allen]] definem [[função contínua]] real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua.{{carece de fontes}}
Sejam <math>X\,</math> e <math>Y\,</math> [[espaço métrico|espaços métricos]] e <math>f:X\to Y\,</math> uma função. <math>f\,</math> é dita '''uniformemente contínua''' se dado <math>\varepsilon>0\,</math> existe um <math>\delta>0\,</math> tal que:▼
Intuitivamente, uma [[função contínua]] é função ''y = φ(x)'' que, quando a variável independente ''x'' passa por todos os valores reais entre ''a'' e ''b'', o valor de ''φ(x)'' nunca se torna infinito e cobre todos valores entre ''φ(a)'' e ''φ(b)''.<ref name="tanner.allen">[[John Henry Tanner]] e [[Joseph Allen]], ''An Elementary Course in Analytic Geometry'' (1808), ''Part I'', ''Chapter I'', ''Introduction'', ''Algebraic and Trigonometric Conceptions'', ''7. Continuous e discontinuous functions'' [http://books.google.com.br/books?id=W6s4AAAAMAAJ&pg=PA8&dq=continuous+function&hl=pt-BR#v=onepage&q=continuous%20function&f=false <nowiki>[google books]</nowiki>]</ref>
Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre ''a'' e ''b'', dados quaisquer valores ''x<sub>1</sub>'' e ''x<sub>2</sub>'' entre ''a'' e ''b'', os valores de ''φ(x<sub>1</sub>)'' e ''φ(x<sub>2</sub>)'' devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor ε um valor δ<ref group="Nota">No texto de Tanner e Allen, em vez de δ, é utilizada a letra η.</ref> tal que sempre que ''|x<sub>1</sub> - x<sub>2</sub>| < δ'', tem-se que ''|φ(x<sub>1</sub>) - φ(x<sub>2</sub>)| < ε''.<ref group="Nota">O texto de Tanner e Allen omite os símbolos de valor absoluto.</ref>
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:<math>d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon,~~\forall x,y\in X\,</math>
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==Propriedades==
Sejam <math>X\,</math> e <math>Y\,</math> [[espaço métrico|espaços métricos]] com <math>X\,</math> [[espaço compacto|compacto]] e <math>f:X\to Y\,</math> [[função contínua|contínua]] então <math>f\,</math> é uniformemente contínua.
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