Em [[topologia (matemática)|topologia]], a '''compacidade''' éumé um dos conceitos fundamentais da área. A noção de compacidade nasceu do teorema de [[Borel]]-[[Lebesgue]] caracterizando fechados e limitados do [[Espaço Euclidiano|espaço euclidiano]] por meio de coberturas de abertos. A noção de comppacidade passou para o âmbito abstrato nas mãos de [[Alexandroff]] e [[Uryshon]].
== Definição ==
Um [[espaço topológico]] diz-se '''compacto''' se possuir a propriedade de [[Espaço de Hausdorff | propriedade de Hausdorff]] e qualquer cobertura por abertos admitir uma subcobertura finita, i.e, se <math>\mathcal{A}</math> é qualquer coleção de abertos do espaço ''X'' e <math>X \subseteq \bigcup \mathcal{A}</math>, então existe um [[subconjunto]] [[finito]] <math>\mathcal{A}_0\subseteq\mathcal{A}</math> tal que <math>X \subseteq \bigcup\mathcal{A}_0</math>.
O leitor deve estar atento ao fato de que grande parte dos autores não exigem que o espaço tenha a propriedade de [[Espaço de Hausdorff | Hausdorff]] na definição de compacto. Espaços que só possuem a propriedade de que todo recobrimento aberto possuir um sub-recobrimento finito são ditos ''quase-compactos''.
