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Linha 1: Em matemática, especificamente em Topologia Geral e [[Espaço métrico]] , um espaço compacto é um '''espaço matemático''' que qualquer sequência infinita de pontos mostrados pelo espaço devem eventualmente, infinitas vezes, chegar arbitrariamente perto de alguns pontos do espaço. Existem diversas noções de compacidade, explicada abaixo, que são equivalentes em casos ótimos. A versão que foi descrita é conhecida como a compacidade sequencial. O [[teorema Bolzano-Weierstrass]] dá um condição equivalente para compacidade sequencial quando são considerados os sub-grupos do [[Espaço Euclidiano]]: um grupo é compacto se somente se ele é fechado e limitado. Exemplos incluem [[intervalo fechado]] ou um [[retângulo]]. Assim se for escolhido um número infinito de pontos em um [[intervalo unitário]] fechado, alguns desses pontos deve chegar arbitrariamente perto de algum número real neste espaço. Por exemplo, alguns dos números ½, 4/5, 1/3, 5/6, 6/7 ... chegam arbitrariamente perto de 0. (Também, alguns chegam arbitrariamente perto de 1.) Perceba que o mesmo grupo de pontos não vai pode ter, como um ponto acumulador, qualquer ponto do intervalo unitário aberto; já que esse intervalo não pode ser compacto. O próprio Espaço Euclidiano ''não é compacto'' já que ''não é limitado''. Particularmente, poderia ser escolhida a sequência de pontos 0, 1, 2, 3 ... que nenhuma sub-sequência chegaria arbitrariamente perto de qualquer número real dado. Em [[topologia (matemática)\|topologia]], a '''compacidade''' é um dos conceitos fundamentais da área. A noção de compacidade nasceu do teorema de [[Borel]]-[[Lebesgue]] caracterizando fechados e limitados do [[Espaço Euclidiano\|espaço euclidiano]] por meio de coberturas de abertos. A noção de comppacidade passou para o âmbito abstrato nas mãos de [[Alexandroff]] e [[Uryshon]]. Várias noções equivalentes de [[compacidade]], incluindo compacidade sequencial e [[compacidade limitada por ponto]] pode ser desenvolvida em espaços métricos gerais. Em espaços topológicos gerais, no entanto, as diferentes noções de compacidades não são necessariamente equivalentes, e a noção mais útil, introduzida por [[Pavel Alexandrov]] e [[Pavel Urysohn]] em 1929, envolvem a existência de certas famílias finitas de [[conjuntos abertos]] que cobrem o espaço no sentido de que cada ponto do espaço deve estar em algum conjunto da família que está contido. Essa definição mais sutil mostra os espaços compactos como generalização de [[conjuntos finitos]]. Em espaços que '''são compactos''', é possível reunir a informação conseguida localmente – na vizinhança de cada ponto - em afirmações correspondentes que se mantém através do espaço, e muitos teoremas são dessa forma. == Introdução == Um exemplo de espaço compacto é o intervalo unitário [0,1] dos [[números reais]]. Se um escolher um número infinito de pontos distintos no intervalo unitário, então deverá ter ponto de acumulação neste intervalo. Por exemplo, os termos pares da sequência 1, ½, 1/3, ¾, 1/5, 5/6, ... chegam arbitrariamente perto de 0, enquanto os termos ímpares chegam perto de 1. O exemplo dado mostra a importância de incluir um limite de pontos do intervalo, já que os [[pontos limite]] devem estar no espaço: um intervalo aberto(ou meio-aberto) de [[número reais]] não é compacto. Também é crucial que o intervalo seja fechado, já que no intervalo [0,∞) poderia ser escolhida a sequência de pontos 0,1,2,3,... que nenhuma sub-sequência chegar arbitrariamente perto do número real dado. Várias definições de compacidade podem ser válidas, dependendo do nível de generalização. Um sub-conjunto do Espaço Euclidiano em particular é chamada de compacto se for [[fechado]] e [[limitado]]. Isso implica, através do [[Teorema de Bolzano-Weierstrass]] , que qualquer sequência infinita vinda do conjunto tem uma subsequência que converge até o ponto nesse conjunto. Isso coloca uma ideia de pegar “passos” em um espaço. Várias noções equivalentes de [[compacidade]], assim como compacidade sequencial e compacidade por ponto limite, podem ser desenvolvidas em espaços métricos gerais. Em [[espaços topológicos]] gerais, no entanto, diferentes noções de compacidade não são [[equivalentes]], e a mais útil noção de compacidade – originalmente chamada de bicompacidade – envolve famílias de [[conjuntos abertos]] que cobrem o espaço no sentido de que cada ponto do espaço deve estar dentro de uma família. Especificamente, o espaço topológico é compacto se, enquanto uma coleção de conjuntos abertos cobrirem o espaço, alguma sub coleção consistindo só de finitos conjuntos aberto também cobrem o espaço. Essa forma de compacidade que acontece para sub-conjuntos [[fechados]] e [[limitados]] do espaço euclidiano é conhecida como [[teorema Heine-Borel]]. Compacidade, quando definida dessa forma, eventualmente permite tirar informação conhecida localmente e to estender essa informação de forma global através do espaço. Um exemplo desse fenômeno é '''teorema de Dirichlet’s''', que foi originalmente aplicado por Heine, e diz que um função contínua em intervalos compactos é uniformemente contínua. == Definição == Formalmente, um [[espaço topológico]] ''X'' é chamado de ''compacto'' se cada uma de suas [[coberturas abertas]] tem um conjunto finito de sub coberturas. No entanto isso é chamado de ''não-compacto''. Explicitamente isso diz que para cada coleção arbitrária Um [[espaço topológico]] diz-se '''compacto''' se possuir a [[Espaço de Hausdorff \| propriedade de Hausdorff]] e qualquer cobertura por abertos admitir uma subcobertura finita, i.e, se <math>\mathcal{A}</math> é qualquer coleção de abertos do espaço ''X'' e <math>X \subseteq \bigcup \mathcal{A}</math>, então existe um [[subconjunto]] [[finito]] <math>\mathcal{A}_0\subseteq\mathcal{A}</math> tal que <math>X \subseteq \bigcup\mathcal{A}_0</math>. :<math>\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}</math> de subconjuntos abertos de {{mvar\|X}} assim como :<math>X=\bigcup_{\alpha\in A} U_\alpha,</math> tem um subconjunto finito {{mvar\|J}} of {{mvar\|A}} assim como :<math>X=\bigcup_{i\in J} U_i.</math> Alguns ramos da matemática, assim como [[geometria algébrica]], tipicamento influenciada pela escola francesa de [[Nicolas Bourbaki\|Bourbaki]], usa o termo ''quasi-compacto'' para a noção geral, e reserva o termo ''compacto'' para espaços topológicos que são duplamente espaços [[Hausdorff]] e ''quasi-compactos''. Um conjunto compacto é eventualmente chamado de ''compactum'', plural de ''compacta''. ===Compacidade de sub espaços=== Um subconjunto ''K'' de um espaço topológico ''X'' é chamado de compacto se for compacto na [[topologia induzida]]. Explicitamente, isso significa que para coleção arbitrária :<math>\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}</math> de subconjuntos abertos{{mvar\|X}} de tal modo que :<math>K\subset\bigcup_{\alpha\in A} U_\alpha,</math> existe um subconjunto ''J'' de ''A'' de tal modo que :<math>K\subset\bigcup_{i\in J} U_i.</math> == Exemplos == === Topologia Geral === * Qualquer [[espaço topológico finito]], incluindo o conjunto vazio é compacto. De forma mais geral, qualquer espaço com a [[topologia finita]] é compacto; isso inclue em particular a [[topologia trivial]] * Qualquer espaço carregando topologia cofinita é compacto. * Qualquer espaço de Hausdorff compacto localmente pode ser transformado em um espaço compacto adicionado um único ponto a ele. Usando a compactação por um-ponto, pode-se construir espaços compactos que não são Hausdorff, iniciando com um espaço não-Hausdorff. * A topologia de ordem direita ou topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado é compacto. * Na topologia co-contável em '''R''' (ou qualquer conjunto incontável), conjuntos não infinitos são compactos. * Nenhum dos espaços nos exemplos anteriores são localmente compactos mas os dois são espaços [[Lindelöf]]. === Análise e Algébra === * O intervalo unitário fechado [0,1] é compacto. Isso segue o [[teorema Heine-Borel]]. O intervalo aberto (0,1) não é compacto: a [[cobertura aberta]] ::<math>\left ( \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right )</math> :para {{math\|1={{mvar\|n}} = 3, 4, … }} não tem uma sub-cobertura. Similarmente, o conjunto de [[número racionais]] no intervalo fechado [0,1] não é compacto: os conjuntos dos números racionais no intervalo ::<math>\left[0,\frac{1}{\pi}-\frac{1}{n}\right] \ \text{and} \ \left[\frac{1}{\pi}+\frac{1}{n},1\right]</math> :a cobertura de todos os intervalos em [0, 1] para {{math\|1={{mvar\|n}} = 4, 5, … }} mas essa cobertura não tem uma sub-cobertura finita. * O conjunto '''R''' de todos os números reais não compacto já que tem uma cobertura dos intervalos abertos que não tem um subconjunto finito. * De forma geral, grupos compactos como um grupo ortogonal são compactos. Enquanto grupos gerais lineares não são. == Teoremas == Alguns teoremas de compacidade: * Uma imagem contínua do espaço é compacta * A pré-imagem de um espaço compacto sob mapeamento correto é compacta. * ~~Imagem~~A ~~contínua~~unição finitos de cojuntos compactos é um compacto.▼ ;Características de Compacidade Assumindo o [[axioma de escolha]], as seguinte são equivalentes. # Um espaço topológico ''X'' é compacto # Toda cobertura aberta de ''X'' tem uma subcobertura finita. # Todo [[ultrafiltro]] em ''X'' converge para ao menos um ponto. # Todo subconjunto finito de ''X'' tem um ponto de acumuação completo. ;Espaço Euclidiano Para qualquer [[subconjunto]] de ''A'' do [[Espaço Euclidiano]] '''R'''<sup>''n''</sup>, os seguintes são equivalentes: # ''A'' é compacto # Qualquer sequência em ''A'' tem um subsequência convergente, que o limite se encontra em ''A''. # Todo subconjunto infinito de ''A'' tem ao menos ponto de limite em ''A'' # ''A'' é fechado e limitado ([[teorema de Heine-Borel]]) # ''A'' é completo e [[totalmente limitado]] ;Espaço métrico O leitor deve estar atento ao fato de que grande parte dos autores não exigem que o espaço tenha a propriedade de [[Espaço de Hausdorff \| Hausdorff]] na definição de compacto. Espaços que só possuem a propriedade de que todo recobrimento aberto possuir um sub-recobrimento finito são ditos ''quase-compactos''. * Um espaço métrico é compacto se somente se é completo e totalmente limitado. * Cada espaço compacto é separável. ;Espaços de Hausdorff ~~== Equivalências ==~~ * Um suboonjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado. Dado um conjunto <math>X</math>, diz-se que uma família não-vazia <math>\mathcal{F}</math> de subconjuntos de <math>X</math> possui a '''propriedade da intersecção finita''' (P.I.F.) se quaquer intersecção finita de elementos de <math>\mathcal{F}</math> for não-vazia. * ['''Riesz, Vietoris, Alexandroff'''] Um espaço de Hausdorff <math>X</math> é compacto se, e somente se toda família não-vazia de fechados possuíndo a P.I.F. ter intersecção não vazia (a propriedade de Hausdorff pode ser retirada para a classificação de quase-compactos). * Um espaço de Hausdorff <math>X</math> é compacto se, e somente se, toda rede em <math>X</math> admitir ponto de acumulação. * Um espaço de Hausdorff <math>X</math> é compacto se, e somente se, todo filtro em <math>X</math> admitir ponto de acumulação. * ['''Alexander'''] Um espaço de Hausdorff <math>X</math> é compacto se, e somente se, toda cobertura por abertos de uma subbase de <math>X</math> admitir subcobertura finita. ~~== Propriedades ==~~ * ['''Alexandroff'''] Todo subsepaço fechado de um espaço compacto é compacto (Tal resultado vale para espaços quase-compactos). * Todos espaço compacto Hausdorff é um espaço [[Espaço Normal \| normal]]. ▲* Imagem contínua de compactos é um compacto. * Toda sobrejeção contínua de um compacto sobre um Hausdorff é uma função fechada. == {{Ver também}} ==

Espaço compacto: diferenças entre revisões