Equação linear: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 1:
Diz-se em [[matemática]] que uma [[equação polinomial]] a <math>n</math> [[indeterminada]]s da forma
: <math>a_nX_n + a_{n-1}X_{n-1} + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0_A,</math>
em que os [[coeficiente]]s <math>a_0, a_1, \ldots, a_n</math> pertencem a um [[Anel (matemática)|anel]] <math>A</math> e <math>0_A \in A</math> é o nulo<ref>ou [[neutro aditivo]]</ref> do anel, é uma '''equação linear''' sobre <math>A</math>. De outro modo, fixado um [[polinômio]] <math>p \in A[X_1, \ldots, X_n]</math> de grau um,
: <math>p = 0_A</math>
é uma equação linear.
Linha 63:
Por exemplo, o coeficiente <math>a_n\neq0</math> (e todos os outros não-nulos) de <math>a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0</math> possui inverso em <math>\mathbb{K}</math>, de modo que
: <math>a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0 \Longleftrightarrow X_n = -a_n^{-1}a_{n-1}X_{n-1} - \cdots -a_n^{-1}a_1X_1 - a_n^{-1}a_0.</math>
Portanto,
<math>\{(t_1, \ldots, t_{n-1}, -a_n^{-1}a_{n-1}t_{n-1} - \cdots -a_n^{-1}a_1t_1 - a_n^{-1}a_0) : t_1, \ldots, t_{n-1} \in \mathbb{K}\} \subseteq \mathbb{K}^n</math>
é o conjunto-solução da equação.
Na descrição do conjunto-solução, escreveu-se a ''n''-ésima indeterminada em função das ''n''-1 primeiras e variou-se estas arbitrariamente para obter todas as soluções da equação. Contudo, poder-se-ia ter escrito qualquer uma das ''n'' indeterminadas em função das demais; obteria-se assim o mesmo conjunto-solução.
== Equações lineares reais e espaços euclideanos ==
Dados vetores <math>\mathbf{a} = (a_1, \ldots, a_n)</math> e <math>\mathbf{b} = (b_1, \ldots, b_n)</math> do [[Espaço euclidiano|espaço vetorial euclideano]] ''n''-dimensional <math>\mathbb{R}^n</math>, tem-se, da definição de [[produto interno]] usual,
:<math>a_1b_1 + \cdots + a_nb_n - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle = 0.</math>
Assim, fixado um real <math>\alpha</math>, o conjunto-solução da equação linear sobre <math>\mathbb{R}</math>
dada por <math> a_1X_1 + \cdots + a_nX_n - \alpha = 0</math>,
: <math>\{(X_1, \ldots, X_n) \in \mathbb{R}^n : a_1X_1 + \cdots + a_nX_n - \alpha = 0\},</math>
é o conjunto de todos os vetores <math>\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n) \in \mathbb{R}^n</math> tais que
<math>\langle\mathbf{a}, \mathbf{X}\rangle = \alpha</math>. Em particular, o conjunto-solução da [[#Equa.C3.A7.C3.A3o_linear_homog.C3.AAnea|equação linear homogênea]] <math>a_1X_1 + \cdots + a_nX_n = 0</math>,
: <math>\{(X_1, \ldots, X_n) \in \mathbb{R}^n : a_1X_1 + \cdots + a_nX_n = 0\},</math>
é o complemento ortogonal do subespaço vetorial gerado por <math>\mathbf{a} = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n</math>, comummente denotado por <math>\mathbf{a}^\perp</math>.
== Ver também ==
| |||