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'''Topologia Geral''' é um ramo da [[matemática]] que preoculpapreocupa-se com o estudo da generalização dos conceitos de distância, continuidade e convergência. O objeto central desse estudo são os espaços topológicos e as funções contínuas entre tais espaços.
== História ==
O nascimento da topologia geral ocorre durante a tentativa de reformular o cálculo diferencial e integral, baseando-se em conceitos mais formais. O que antes era entendido através de noções intuitivas baseadoasbaseadas na [[geometria euclidiana]] e na [[mecânica]] ([[Newton]] e [[Leibniz]], século XVII), começou a ser formulado dentro da linguagem matemática: definição de limite de sequências ([[D'Alembert]] <ref>"Encyclopédie, "vol. 4, Différentiel "</ref>) e [[Cauchy]] no século XVIII), formulação dos testes de convergência ([[D'Alembert]], [[Cauchy]], [[Gauss]], [[Weierstrass]]), a definição precisa de continuidade de funções ([[Bolzano]] e [[Weierstrass]]), e a contruçãoconstrução de uma teoria formal sobre os números reais ([[Dedekind]], [[Méray]], [[Cantor]] e [[Cauchy]]).
Entre 1879 e 1894 [[Cantor]] publicou estudos a respeito de problemas envolvendo séries trigonométricas, focando seus estudos em alguns pontos patólogicospatológicos. Essas investigações o levaram a desenvolver os princíposprincípios da [[teoria dos conjuntos]] e da [[topologia]], introduzindo conceitos fundamentais no estudo de subconjuntos do [[espaço euclidiano]], juntamente com conteporâneoscontemporâneos como [[Jordan]], [[Borel]], [[Poincaré]], [[Baire]] e [[Lebesgue]].
A mudança para o estudo de espaços abstratos foi predecedidaprecedida por [[Riemann]] e seus estudos de [[variedades] 2-dimensionais e espaços de funções. Otras contribuições foram dadas pelos estudos de curvas de [[Ascoli]] e [[Borel]] e as pesquisas de conjuntos de funções feitas por [[Arzelà]], [[Volterra]], [[Hilbert]] e [[Fredholm]]. Finalmente, espaços abstratos começaram a ser introduzidos por valta de 1905 pelas mãos de [[Riesz]], [[Vietoris]] e [[Frechét]]. Em 1914, [[Felix Hausdorff]] introduziu o conceito de vizinhança, culminando, assim, a primeira definição satisfatória de um espaço topológico, seguido pela introdução do primeiro axioma de enumerabilidade, dado por [[Root]] também em 1914. Paralelamente, em 1916, [[Robert Lee Moore]] também introduzia axiomas para o estudo de espaços abstratos. A definição atual de um espaço topológico é devida a [[Kuratowski]] e os primeiros resultados importantes feitos sobre espaços abstratos podem ser encontrados nos trabalhos de [[Kuratowski]], [[Alexandroff]], [[Hausdorff]] e [[Urysohn]].
== Estudos ==
A topologia geral está focada na classificação de espaços topológicos, o que é feito através de [[axiomas de separação]], [[axiomas de enumerabilidade]], e conceitos relacinadosrelacionados a [[compacidade]], tais como a propriedade de [[Lindelöff]] e [[paracompacidade]], [[metrizabilidade]] e [[completude]], [[concexidade]], [[dimensão]], [[uniformidade]], entre outros. Envolvem-se em tais estudos os conceitos de operações com espaços topológicos, tais como subspaçossubespaços, produtos, somas, quocientes e espaços de funções; finalmente, [[funções contínuas]], [[homeomorfismos]], [[seqüências|sequências]], [[redes]] e [[filtros]] cuidam do estudo de continuidade e convergência entre espaços topológicos.
Muito do que é feito em topologia geral possui profunda relação com a [[teoria dos conjuntos]], dependo fortemente dos conceitos de números [[ordinais|Número ordinal]] e [[cardinais|Número Cardinal]], [[axioma da escolha]] e a [[hipótese do continuum]] e provas de [[consistência|Consistência lógica]] e [[independência]].
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