Função divisor: diferenças entre revisões
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==Introdução==
Em [[matemática]], especialmente na [[teoria dos números]] e na [[teoria analítica dos números]], uma '''função divisor''', mais apropriadamente chamada '''função soma dos divisores''', é uma [[função aritmética]] que associa a cada [[número natural]] ''n'' a soma das ''k''-ésimas potências de seus [[divisor]]es inteiros positivos, onde ''k'' é um [[número complexo]] (na [[teoria dos números]] clássica o expoente é geralmente um [[número inteiro]]). Quando o expoente ''k'' é nulo, a função retorna a contagem de divisores positivos de ''n''. Denotada pela letra grega σ (sigma), ela está presente em várias relações, incluindo a [[função zeta de Riemann]] e a [[série de Eisenstein]] de uma [[forma modular]]. Essas funções foram bastante estudadas por Srinivasa [[Ramanujan]], matemático indiano responsável por um grande número de congruências e identidades a elas referentes.
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:<math>\sigma_{1}(n)=\sigma(n)=\sum_{d|n} d\ </math>.
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==Propriedades==
Da definição segue claramente que σ(1) = 1 e, ainda, ''n'' > 1 se, e somente se, σ(''n'') ≥ 1 + ''n'', pois existem pelo menos dois divisores de ''n'', a saber,
* se ''p'' é um [[número primo]] então
Se ''n'' = ''p<sup>a</sup>'' com ''p'' primo e ''a'' > 1 expoente natural, então todos os divisores positivos de ''n'' estão no conjunto {1, ''p'', ...,''p<sup>a</sup>''}, de maneira que▼
<math> \sigma(p) = 1 + p</math>,
pois apenas 1 e ''p'' dividem ''p'',
* se ''n'' é um [[número composto]] então existem inteiros '''''a''''' e '''''b''''', '''relativamente primos''' ([[mdc]](''a'',''b'') = 1), tais que ''n'' = ''a b'' e portanto os divisores de ''n'' são pelos menos ', ''a'', ''b'' e '' a b''. Logo,
<math> \sigma(n) > 1 + n</math>
para todo natural composto ''n''.
Para determinar precisamente o valor de σ(''n'') para ''n'' composto, faz-se necessário representar ''n'' por sua decomposição primária (em fatores primos), o que é visto a partir de agora.
===Compostos como potências de primos===
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===Funções multiplicativas===
A função σ é uma [[função multiplicativa]] - mas não ''completamente'' multiplicativa - pois se ''m'' e ''n'' são '''primos relativos''', isto é, se ''mdc''(''m'',''n'') = 1, então σ(''mn'') = σ(''m'') σ(''n''). Para exemplificar este fato, tomem-se primos ''p'' e ''q''. Logo os divisores do produto ''pq'' são 1, ''p'', ''q'' e ''pq''. Portanto σ(''pq'') = 1 + ''p'' + ''q'' + ''pq'' = (1+''p'')(1+''q'') = σ(''p'') σ(''q''). Considere-se agora que ''q''=''q''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub> é um [[número composto]] relativamente primo com ''p'', com ''q''<sub>1</sub> e ''q''<sub>2</sub> também relativamente primos. Segue daí que σ(''p q'') = σ(''p q''<sub>1</sub> ''q''<sub>2</sub>) = σ(''p'') σ(''q''<sub>1</sub>) σ(''q''<sub>2</sub>). O raciocínio aqui descrito sustenta uma prova por [[indução matemática]] e fundamenta a generalização dada a seguir.▼
A função σ é uma [[função multiplicativa]], pois se ''m'' e ''n'' são '''primos relativos''', isto é, se ''mdc''(''m'',''n'') = 1, então σ(''mn'') = σ(''m'') σ(''n''). Uma função para a qual este produto vale para quaisquer naturais ''m'' e ''n'' (não apenas primos relativos) é chamada de '''completamente multiplicativa''', o que não é o caso de σ. Para compreender isto, tomem-se por exemplo primos distintos ''p'' e ''q''. Logo os divisores do produto ''p q'' são: 1, ''p'', ''q'' e ''pq''. Portanto σ(''pq'') = 1 + ''p'' + ''q'' + ''pq'' = (1+''p'')(1+''q'') = σ(''p'') σ(''q'').
Sejam os primos ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ..., ''p''<sub>''m''</sub> e os expoentes ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...''a''<sub>m</sub> tais que ''n'' = ''p''<sub>1</sub><sup>a1</sup> ''p''<sub>2</sub><sup>a2</sup> ... ''p''<sub>m</sub><sup>am</sup> (tal decomposição tem existência e unicidade garantidas pelo [[teorema fundamental da aritmética]]). Nessas condições, é certo que▼
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===Números compostos quaisquer===
▲Sejam os primos ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ..., ''p''<sub>''m''</sub> e os expoentes ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...''a''<sub>m</sub> tais que ''n'' = ''p''<sub>1</sub><sup>a1</sup> ''p''<sub>2</sub><sup>a2</sup> ... ''p''<sub>m</sub><sup>am</sup> (tal decomposição primária tem existência e unicidade garantidas pelo [[teorema fundamental da aritmética]]). Nessas condições,
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\end{align}
</math>
====Exemplos====
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:<math> \sigma_k(n) = \prod_{j=1} ^{\omega(n)} \frac{p_j ^{(a_{j}+1)k} - 1}{p_{j}^k - 1} = \prod_{j=1} ^{\omega(n)} p_j ^{a_j k} \left( 1 + \frac{1 - p_j ^{-a_j k}}{p_j ^k - 1} \right) </math>
==Números perfeitos==
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* ''n'' é '''deficiente''' se σ<sub>-1</sub>(''n'') < 2
==Custo estimado de cálculo==
Interessa àqueles que de fato aplicam as funções em cálculos estimar o esforço necessário para computar os seus valores, o que é medido pelo número de operações efetuadas. Nesse sentido, da fórmula de σ(''n'') decorre<ref name="Martinez et al">'''Martinez, Fabio Brochero, et al''';''Projeto Euclides: Teoria dos Números. Um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro'', Rio de Janeiro: IMPA, 2010</ref> que
<math> n \prod _{j=1} ^{k} \left( 1 + \frac{1}{p_j} \right) \le \sigma(n) < n \prod _{j=1} ^{k} \frac{p_j}{p_j - 1}</math>
Daí, utilizando a expressão de φ ([[função totiente de Euler]]), tem-se
<math> \prod_{j=1}^k \left( 1 - \frac{1}{p_j^2} \right) \le \frac{\varphi(n)\sigma(n)}{n^2} < 1 </math>
Além disso, uma vez que
<math> \prod _{p \, primo} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^2}} = \prod \left( 1 + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^4} + ... \right) = \sum _{k=1} ^{infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi ^2}{6} </math>,
e também como
<math>0 < \underline{\lim} _{n \to \infty} \frac{\varphi(n) \, log \, log \, n}{n} < + \infty</math> (vide [[função totiente de Euler]]),
subsequentemente é certo que
<math> 0 < \overline{\lim} _{n \to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \, log \, log \, n} < + \infty</math>.
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Esta soma aparece também na [[série de Fourier]] da [[série de Eisenstein]] e como invariantes das [[funções elípticas de Weierstrass]].
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