Wikipédia

Função de Möbius: diferenças entre revisões

Explorar interativamente o histórico
← Ver a alteração anteriorVer a alteração posterior →
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
VisualTexto wiki
m Desfeita a edição 38394534 de 189.125.47.93: isso é UMA lista com TRÊS itens (não são TRÊS listas com UM item cada uma!)
Linha 1:
{{sem-fontes|data=Abril de 2013}}
A clássica '''função de Möbius''' μ(''n'') é uma [[função (matemática)|função]] [[função multiplicativa|multiplicativa]] na [[Teoria dos números|Teoria dos Números]] e [[Combinatória]]. Tem esse nome em homenagem ao matemático alemão [[August Ferdinand Möbius]], que foi o primeiro a defini-la em [[1831]].
 
 
== Definição ==
Linha 7 ⟶ 8:
Denotada por μ(''n''), a função de Möbius possui em seu [[Domínio (matemática)|domínio de definição]] todos os [[número natural|números naturais]] e sua [[Conjunto imagem|imagem]] possui três elementos: [[-1]], [[Zero|0]], e [[Um|1]]. Uma maneira simples de regrar a relação entre os elementos do domínio e da imagem é a seguinte:
 
* '''μ(''n'') = 0''' se ''n'' tem como divisor um outro número natural ao quadrado;▼
* '''μ(''n'') = 1''' se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade par de [[número primo|números primos]];▼
* '''μ(''n'') = -1''' se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade ímpar de números primos.▼
 
▲* '''μ(''n'') = 0''' se ''n'' tem como divisor um outro número natural ao quadrado;
Ainda define-se '''μ(1) = 1'''. O valor '''μ(0)''' é geralmente deixado indefinido. O software [[Maple]] define-o como sendo -1.▼
 
Dessa maneira, pode-se condensar a definição da função por meio do seguinte regramento: dado <math>n = \prod_{j=1}^{k} p_j ^{a_j} \in \mathbb{N}</math> (vide [[Teorema Fundamental da Álgebra]]), tem-se <math>\mu : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math> tal que▼
 
▲* '''μ(''n'') = 1''' se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade par de [[número primo|números primos]];
Conforme a definição acima, para estabelecer o valor de μ(''n'') faz-se necessário conhecer a [[Teorema fundamental da álgebra|fatoração]] de ''n'', o que por vezes dificulta muito o cálculo da função.
 
 
▲* '''μ(''n'') = -1''' se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade ímpar de números primos.
 
 
▲Ainda define-se '''μ(1) = 1'''. O valor '''μ(0)''' é geralmente deixado indefinido. O software [[Maple]] define-o como sendo -1. Assim, pode-se condensar a definição da função por meio do regramento a seguir.
 
 
▲Dessa maneira, pode-se condensar a definição da função por meio do seguinte regramento: dadoDado <math>n = \prod_{j=1}^{k} p_j ^{a_j} \in \mathbb{N}</math> (vide [[Teorema Fundamental da Álgebra]]), tem-se <math>\mu : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math> tal que
 
 
<math> \mu(n) = \left \{ \begin{matrix} (-1)^k, & \mbox{se } a_j = 1 \mbox{ para todo } j \\ 0, & \mbox{se } a_j > 1 \mbox{ para algum } j \end{matrix} \right. </math>
 
 
Conforme a definição dada acima, para estabelecer o valor de μ(''n'') faz-se necessário conhecer a [[Teorema fundamental da álgebra|fatoração]] de ''n'', o que por vezes dificulta muito o cálculo da função. Contudo há uma forma alternativa de definição de μ(''n''), pela qual não se precisa conhecer os fatores primos de ''n'', que é estabelecida por meio da expressão dada a seguir<ref>'''Hardy, G. H.; Wright, E. M'''. ''An Introduction to the Theory of Numbers''. Oxford: Oxford University Press, 1980, 5 ed., ISBN 978-0-19-853171-5</ref>:
 
Outra forma de definir a Função de Möbius é por meio da expressão dada a seguir<ref>'''Hardy, G. H.; Wright, E. M'''. ''An Introduction to the Theory of Numbers''. Oxford: Oxford University Press, 1980, 5 ed., ISBN 978-0-19-853171-5</ref>, a qual é capaz de fornecer o valor de μ(''n'') sem a necessidade de conhecer os fatores primos de ''n'':
 
:<math>\mu(n) = \sum_{\stackrel{1\le k \le n }{ (k,\,n)=1}} e^{2\pi i \tfrac{k}{n}}.</math>
 
 
Contudo, a complexidade computacional para esse cálculo (que se fundamenta na determinação de [[Raiz da unidade|raízes da unidade]]) resulta em um custo semelhante ao do cálculo do [[produto de Euler]].
 
 
== Propriedades ==
Entre as diversas propriedades satisfeitas pela função estão as seguintes:
 
* '''====Propriedade 1''':====
 
*:<math>\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ se } n=1\\
0&\mbox{ se } n>1\end{matrix}\right.</math>
 
*:De fato, se '''''n'' = 1''', o resultado é imediato. Para o caso de '''''n'' > 1''', uma vez que μ é [[Função multiplicativa|multiplicativa]], é suficiente tomar '''''n = p<sup>k</sup>''''', em que ''p'' é um primo qualquer. Como todos os divisores de ''p<sup>k</sup>'' estão no conjunto {1, ''p'', ..., ''p<sup>k</sup>''}, então▼
 
*:<math>\sum_{i=0}^k \mu (p^i) = \sum_{i=0}^k \mu (p^i) - \sum_{i=0}^k \mu (p^i) = 1 - 1 = 0 \,</math>.▼
▲*:De fato, se '''''n'' = 1''', o resultado é imediato. Para o caso de '''''n'' > 1''', uma vez que μ é [[Função multiplicativa|multiplicativa]], é suficiente tomar '''''n = p<sup>k</sup>''''', em que ''p'' é um primo qualquer. Como todos os divisores de ''p<sup>k</sup>'' estão no conjunto {1, ''p'', ..., ''p<sup>k</sup>''}, então
* '''Propriedade 2:''' Se <math>s \in \mathbb{C}</math> com '''''Re'''''(''s'') '''> 1''' então▼
 
*:<math>\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} \right) \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \right) = 1 \,</math>.▼
 
*:A demonstração de tal igualdade parte da [[função zeta de riemann]], dada por <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \zeta(s)</math>.▼
▲*:<math>\sum_{i=0}^k \mu (p^i) = \sum_{i=0}^k \mu (p^i) - \sum_{i=0}^k \mu (p^i) = 1 - 1 = 0 \,</math>.
* '''Propriedade 3:''' Um enunciado equivalente à hipótese de Riemann (localização dos zeros não triviais da função meromorfa <math>\zeta : \mathbb{C} \setminus \left \{1 \right \} \rightarrow \mathbb{C}</math>) é o seguinte: para cada ε > 0, tem-se▼
 
*:<math> \lim_{n \in \mathbb{N}} \frac{\sum _{k=1}^{n} \mu(k)}{n^{{\frac{1}{2}} + \epsilon}} = 0</math>▼
 
====Propriedade 2====
 
▲* '''Propriedade 2:''' Se <math>s \in \mathbb{C}</math> com '''''Re'''''(''s'') '''> 1''' então
 
 
▲*:<math>\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} \right) \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \right) = 1 \,</math>.
 
 
▲*:A demonstração de tal igualdade parte da [[função zeta de riemann]], dada por <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \zeta(s)</math>.
 
 
====Propriedade 3====
 
▲* '''Propriedade 3:''' Um enunciado equivalente à hipótese de Riemann (localização dos zeros não triviais da função meromorfa <math>\zeta : \mathbb{C} \setminus \left \{1 \right \} \rightarrow \mathbb{C}</math>) é o seguinte: para cada ε > 0, tem-se
 
 
▲*:<math> \lim_{n \in \mathbb{N}} \frac{\sum _{k=1}^{n} \mu(k)}{n^{{\frac{1}{2}} + \epsilon}} = 0</math>
 
 
 
{{Referências}}
Linha 44 ⟶ 77:
 
== Ver também ==
 
* [[Função de Liouville]]
 
* [[Função de Mertens]]
 
* [[Soma de Ramanujan]]
 
 
{{Portal|matemática}}
Obtida de "https://pt.wikipedia.org/wiki/Função_de_Möbius"