Álgebra de Lie: diferenças entre revisões
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== Definição e primeiras propriedades ==
Uma álgebra de Lie <math>\mathfrak{g}</math> é um tipo de [[álgebra sobre um corpo]]; é um [[espaço vetorial]] sobre um corpo ''F'' juntamente com uma [[operação binária]] (<math>[\cdot,\cdot]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math>, chamada de ''comutador'', ou ''colchete de Lie''), que satisfaz os seguintes [[axioma]]s:
* [[Bilinearidade]]:
*:<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] </math>
*:
* [[Anticomutatividade]]:
*:para todos elementos ''x'', ''y'' em <math>\mathfrak{g}.</math> Quando ''F'' for um corpo de característica dois, deve-se impor a condição mais forte
▲::<math> [x,y]=-[y,x]\, </math>
*:
▲::<math> [x,x]=0 </math>
* A [[identidade de Jacobi]]:
*:
Para qualquer [[álgebra associativa]] ''A'' com multiplicação *, pode-se construir uma álgebra de Lie ''L''(''A''). Como espaço vetorial, ''L''(''A'') coincide com ''A''. O colchete de Lie de ''L''(''A'') é definido como sendo o seu comutador em ''A'':
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== Exemplos ==
* Qualquer espaço vetorial ''V'' dotado de um colchete de Lie identicamente nulo é uma álgebra de Lie. Tais álgebras de Lie são chamadas de ''abelianas''. Qualquer álgebra de Lie unidimensional sobre um corpo é abeliana, pela
* O [[espaço euclidiano]] [[tridimensional]] '''R'''<sup>3</sup> munido do colchete de Lie dado pelo [[produto vetorial]] de espaços vetoriais é uma álgebra de Lie tridimensional.
* A [[álgebra de Heisenberg]] é uma álgebra de Lie tridimensional com geradores ''x'',''y'',''z'', cujas relações de comutação são da forma
: <math>[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0.\,</math>
▲:: <math>[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0.\,</math>
* Qualquer [[grupo de Lie]] ''G'' define uma álgebra de Lie associada <math>\mathfrak{g}=Lie(G).</math>
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