Análise de Fourier: diferenças entre revisões
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Hoje, o tema da análise de Fourier abrange um vasto espectro de matemática. Nas ciências e engenharia, o processo de decomposição de uma função em partes mais simples é muitas vezes chamado de Análise de Fourier, enquanto a operação de reconstrução da função a partir dessas partes é conhecido como Síntese de Fourier. Em matemática, o termo Análise de Fourier freqüentemente refere-se ao estudo de ambas as operações.
O processo de decomposição em si é chamado de Transformada de Fourier. A Transformada geralmente possui um nome mais específico, que depende do domínio e outras propriedades da função a ser transformada. Além disso, o conceito original da Análise de Fourier foi estendido ao longo do tempo para ser aplicado a situações cada vez mais abstratas e gerais, e no campo geral é muitas vezes conhecido como análise harmônica. Cada transformada utilizada nas análises (ver lista de transformações relacionadas-Fourier) tem uma transformada inversa correspondente, que pode ser utilizado para sua síntese.
==Aplicações==
A Análise de Fourier tem muitas aplicações científicas - em física, equações diferenciais parciais, teoria dos números, análise combinatória, processamento de sinal, imagem, teoria da probabilidade, estatística, precificação de opções, criptografia, análise numérica, acústica, oceanografia, sonar, óptica, difração, geometria, análise da estrutura da proteína e de outras áreas.
Esta ampla aplicabilidade decorre de muitas propriedades úteis das transformadas''':'''
* As transformações são operadores lineares e, com a normalização apropriada, são unitárias, bem como (uma propriedade conhecida como Teorema de Parseval ou, mais geralmente, como Teorema Plancherel, e mais geralmente através da Dualidade Pontryagin) (Rudin 1990).
* As transformadas são normalmente invertidas.
* As funções exponenciais são autofunções de diferenciação, o que significa que esta representação transforma equações diferenciais lineares com coeficientes constantes em operações algébricas comuns (Evans, 1998). Portanto, o comportamento de um sistema LTI (Linear Time-Invariant) no tempo pode ser analisado de forma independente em cada frequência.
* Pelo Teorema de Convolução, transformadas de Fourier tornam a complicada operação de convolução em simples multiplicação, o que significa que elas fornecem uma maneira eficiente de calcular operações baseadas em convolução como a multiplicação de polinômios e multiplicação de grandes números (Knuth, 1997).
* A versão discreta da transformada de Fourier pode ser avaliada rapidamente em computadores com algoritmos Fast Fourier Transform (FFT). (Conte & Boor de 1980)
A transformação de Fourier também é útil como uma representação compacta de um sinal. Por exemplo, a compressão JPEG usa uma variante da transformação de Fourier (transformada discreta de cosseno) de pequenos pedaços quadrados de uma imagem digital. Os componentes de Fourier de cada quadrado são arredondados para baixa precisão aritmética, e componentes fracos são totalmente eliminados, de modo que os componentes restantes podem ser armazenados de forma bastante compacta. Na reconstrução da imagem, cada quadrado da imagem é remontado a partir dos componentes aproximados preservados da transformada de Fourier, que são então transformadas inversa para produzir uma aproximação da imagem original.
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