Coordenadas hiperbólicas: diferenças entre revisões

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[[Imagem:Hyperbolic coordinates.svg|thumb|400px|rightdireita|Coordenadas hiperbólicas plotadas no plano cartesiano: ''u'' em azul e ''v'' em vermelho]]
Em [[matemática]], as '''coordenadas hiperbólicas''' são um método útil para a localização de pontos no primeiro quadrante do [[plano cartesiano]]{{Porquê|date=Maio de 2010}}.
 
:<math>\{(x, y) \ :\ x > 0,\ y > 0\ \} = Q\ \!.</math >.
 
As coordenadas hiperbólicas assumem valores tais que
 
:<math>HP = \{(u, v) : u \in \mathbb{R}, v > 0 \}.</math>.
 
Para um ponto <math>(x,y)</math> em <math>Q</math> temos
e
 
:<math>v = \sqrt{xy}.</math>.
 
O parâmetro <math>u</math> algumas vezes é chamado [[ângulo hiperbólico]] e <math>v</math> a [[média geométrica]].
A transformação inversa é
 
:<math>x = v e^u ,\quad y = v e^{-u}.</math>.
 
Esta é uma [[Função contínua|transformação contínua]], mas não é uma [[função analítica]].
 
== Modelo quadrante para a geometria hiperbólica ==
 
A correspondência
 
 
== Aplicações às ciências físicas ==
 
Relações com unidades físicas, como:
 
* E = IR : [[Lei de Ohm]]
* P = VI : [[Potência elétrica]]
* PV = kT : [[Lei dos gases ideais|Lei do gás ideal]]
* ''f'' λ = ''c'' : Ondas senoidais
 
todas sugerindo a análise cuidadosa dos eixos coordenados. Por exemplo, na [[termodinâmica]] o [[processo isotérmico]] segue explicitamente o caminho hiperbólico e o [[Trabalho (física)|trabalho]] pode ser interpretado como uma variação do ângulo hiperbólico. Da mesma forma, um [[Transformação isobárica|processo isobárico]] pode resultar numa hipérbole no eixo temperatura versus densidade absoluta do gás.
 
Para ver as coordenadas hiperbólicas na [[teoria da relatividade]], ver a seção ''História'' abaixo.
 
== Aplicações à estatística ==
 
* Estudos comparativos da densidade populacional começam com a escolha de um país, região ou área urbana de referência, cuja população e área são tomados como o ponto (1,1).
* Análises dos representantes políticos de uma região sob regime democrático começa com a escolha de um padrão de comparação: um grupo particular representativo, cuja magnitude e ardósia magnitude (de representantes) é de (1,1) no gráfico.
 
== Aplicações à economia ==
 
Há muitas aplicações naturais das coordenadas hiperbólicas na [[economia]]:
 
* Análise da flutuação da [[taxa de câmbio]] monetária:
 
A unidade monetária é definida por <math>x = 1.</math>. O preço da moeda corresponde ao valor <math>y.</math>. Para
 
:<math>0 < y < 1</math>
 
encontramos <math> u > 0 ,</math>, um ângulo hiperbólico positivo. Para uma ''flutuação'' toma-se um novo preço
 
:<math>0 < z < y.</math>.
 
Então a variação em ''u'' é:
 
:<math>\Delta u = \frac{1}{2} \log \left( \frac{y}{z} \right).</math>.
 
A quantificação da flutuação da taxa de câmbio através de um ângulo hiperbólico fornece uma medida objetiva, simétrica e consistente. A quantidade <math>\Delta u</math> é o comprimento do deslocamento da esquerda para a direita do ponto de vista do movimento hiperbólico da flutuação da moeda.
 
== História ==
 
Enquanto a média geométrica é um conceito antigo, o ângulo hiperbólico é contemporâneo com o desenvolvimento do [[logaritmo]], a última parte do século XVII. [[Grégoire de Saint-Vincent]], [[Marin Mersenne]] e [[Alphonse Antonio de Sarasa]] avaliaram a quadratura da hipérbole como uma função com propriedades agora familiares com o logaritmo e em seguida com a função exponencial, o seno hiperbólico e cosseno hiperbólico. Como a teoria da [[função complexa]] referia-se às [[série infinita|séries infinitas]], as funções circulares seno e cosseno pareciam absorver o seno e o cosseno hiperbólicos como dependente de uma variável imaginária. No século XIX, os [[quatérnio|biquatérnios]] começaram a ser utilizados e mostraram um plano complexo alternativo chamado [[número hipercomplexo|números hipercomplexos]], onde o ângulo hiperbólico é levado a um nível igual ao ângulo clássico. Na literatura inglesa, os biquatérnios foram utilizados para modelar o espaço-tempo e mostrar suas simetrias. Nela, o parâmetro ângulo hiperbólico veio a ser chamado de [[rapidez]]. Para os relativistas, examinando-se o quadrante como um futuro possível entre fótons de direções opostas, o parâmetro média geométrica é temporal.
 
Na relatividade, o foco está na hiper-superfície tridimensional dentro do futuro do espaço-tempo, onde várias velocidades chegam após um tempo próprio dado. Scott Walter<ref>Walter (1999), pagepágina 6</ref> explica que em novembro de 1907 [[Minkowski|Herman Minkowski]] especulou sobre uma conhecida geometria tridimensional hiperbólica enquanto falava para a Göttingen Mathematical Society, mas não para uma de quatro dimensões.<ref>Walter (1999), pagepágina 8.</ref> Em homenagem a [[Wolfgang Rindler]], o autor do livro-texto padrão de nível universitário sobre relatividade, as coordenadas hiperbólicas do espaço-tempo são chamadas de coordenadas de Rindler.
 
== Referências ==
<references/>
* David{{Citar livro|nome=David|sobrenome=Betounes (2001) ''|título=Differential Equations: |subtítulo=Theory and Applications'', page 254, |idioma=inglês|editora=Springer-TELOS, |ano=2001|página=254|id=ISBN 0387951407 .}}
* Scott Walter (1999). [http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity"]. Chapter 4 in: Jeremy J. Gray (ed.), ''The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930'', pp.&nbsp;91–127. [[Oxford University Press]]. ISBN 0198500882.
 
[[Categoria:Sistemas de coordenadas]]