Modelo de Solow: diferenças entre revisões
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Na [[economia|teoria ecônomica]] do crescimento, o '''modelo de Solow-Swan''' é um modelo neoclássico do crescimento, cujo nome foi dado em homenagem ao [[Prêmio de Ciências Econômicas]] [[Robert Solow]].
Este modelo estuda o crescimento da [[economia]] de um [[país]] em um longo período. Ele apresentou como fonte de crescimento econômico: a acumulação de capital, o crescimento da força de trabalho e as alterações tecnológicas. Robert Solow preocupou-se em demonstrar que o produto ''per capita'' é uma função crescente da razão entre [[capital (economia)|capital]] e [[trabalho (economia)|trabalho]]. A força de trabalho cresce a uma [[taxa]] natural (exógena ao modelo) então é necessária uma quantidade de [[poupança]] ''per capita'', que deve ser utilizada para equipar os novos trabalhadores com uma quantidade de [[capital]] per capita <math>K</math>, igual a dos outros trabalhadores. Outra parte da poupança deve ser utilizada para garantir a não [[depreciação]] do capital. A primeira parte da poupança citada acima para equipar os novos trabalhadores é chamada "alargamento do capital" (expansão da força de trabalho) e a poupança utilizada para aumentar a razão capital-trabalho se chama "aprofundamento do capital". Para alcançarmos a
== Assunções ==
Para Romer (1996, p. 15-25),<ref>ROMER, David. '''Advanced Macroeconomics'''. 1996. McGraw-Hill. ISBN 978-007-287-730-4 {{en}}</ref> o modelo de Solow assume que:
* A função de produção tem 4 variáveis: o [[produto]] (<math>Y</math>), o [[capital]] (<math>K</math>), o [[trabalho]] (<math>L</math>) e o conhecimento ou "eficiência do trabalho" (<math>A</math>), de maneira que:
: <math>f[Y(t)] = f[K(t), A(t)*L(t) ]</math>
* A [[Função produção|função de produção]] tem retornos constantes de escala em seus dois argumentos, capital (<math>K</math>) e trabalho efetivo (<math>AL</math>).
* Outros insumos que não os da função acima citada, inclusive [[terra]], são relativamente desimportantes
* Os níveis iniciais de capital, trabalho e conhecimento são dados.
* <math>L</math> e <math>A</math> crescem a taxas constantes...
* O produto é dividido entre [[consumo]] e [[investimento]]
* A fração destinada ao investimento é exógena e constante.
* O capital também deprecia a uma [[taxa]] constante
* A economia converge para uma situação onde cada variável do [[modelo]] cresce a uma taxa constante. Nesse ponto, a [[taxa de crescimento]] do produto por trabalhador é determinado somente pela taxa de crescimento tecnológico.
== Papel da poupança: maior produto no estado estacionário ==
{{AP|poupança|Estado estacionário (economia){{!}}Estado estacionário}}
O modelo de Solow mostra que a taxa de poupança é o principal determinante do estoque de capital no [[estado estacionário]]. O aumento da taxa de poupança faz a economia crescer até que alcance o novo estado estacionário. Assim, a acumulação de capital é a poupança descontada da taxa de depreciação.
Para Ellery Jr. e Gomes (2003, p. 5),<ref>ELLERY Jr, Roberto, e GOMES, Victor. Modelo de Solow, Resíduo de Solow e Contabilidade do Crescimento. março de 2003. Disponível em:[http://www.victorgomes.com.br/docs/cursos/ecb1/solow_ecb.pdf ligação externa]. Acesso em 28 de janeiro de 2009. 21 páginas.</ref> "podemos chegar a duas conclusões importantes sobre o modelo de Solow, uma de caráter mais teórico e outra capaz de sugerir políticas macroeconômicas. A primeira conclusão é que a partir de um certo período o estoque de capital e o produto por unidades de eficiência chegam a um valor constante. Note que se o produto por unidade de eficiência é constante o consumo e o investimento também devem ser constantes, visto que ambos são frações do produto. Desta forma podemos dizer que em um certo momento a economia chegará a uma situação onde todas as variáveis medidas em unidades de eficiência tornar-se-ão constantes no tempo, quando uma economia encontra-se nesta situação dizemos que ela atingiu o estado estacionário.
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== Estudos posteriores ==
Para Sachs e Larrain (2000, p. 598),<ref>D. SACHS, Jeffrey, e LARRAIN B., Felipe. '''macroeconomia''' - Edição revisada e atualizada. São Paulo: MAKRON Books, 2000. 848 páginas ISBN 8-534-61121-1</ref> "grande parte dos trabalhos empíricos posteriores [a Solow] foram baseados em ampliações e sofisticações do esquema geral [deste modelo]. Basicamente, tentaram melhorar a qualidade dos dados e classificaram as séries de capital e mão-de-obra por tipo. Por exemplo, no caso da mão-de-obra, o insumo total foi subdividido em categorias por [[idade]], [[educação]] e geração."
== Matemática do modelo ==
O livro didático modelo de Solow-Swan é definido no mundo de tempo contínuo com nenhum governo ou o comércio internacional. A única boa (saída) é produzido usando dois fatores de produção, trabalho (<math>L</math>) e de capital (<math>K</math>) em uma função de produção agregada que satisfaça as condições de Inada, que implica que a elasticidade de substituição deve ser assintoticamente igual a um.<ref>{{cite journal |last=Barelli |first=Paulo |last2=Pessôa |first2=Samuel de Abreu |title=Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb–Douglas |journal=Economics Letters |volume=81 |issue=3 |year=2003 |pages=361–363 |doi=10.1016/S0165-1765(03)00218-0 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Litina |first=Anastasia |first2=Theodore |last2=Palivos |year=2008 |title=Do Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb–Douglas? A comment |journal=[[Economics Letters]] |volume=99 |issue=3 |pages=498–499 |doi=10.1016/j.econlet.2007.09.035 }}</ref>
: <math>Y(t)=K(t)^{\alpha}(A(t)L(t))^{1-\alpha}\,</math>
Onde <math>t</math> denota tempo, <math>0 < \alpha < 1</math> é a elasticidade do produto em relação ao capital, e <math>Y(t)</math> representa a produção total. <math>A</math> refere-se a tecnologia de aumentar o trabalho ou "conhecimento", assim <math>AL</math> representa o trabalho efetivo. Todos os fatores de produção estão plenamente empregados, e os valores iniciais <math>A(0)</math>, <math>K(0)</math> e <math>L(0)</math> são dadas. O número de trabalhadores, ou seja, de trabalho, bem como o nível de [[tecnologia]] crescem exogenamente a taxas <math>n</math> e <math>g</math>, respectivamente:
:<math>L(t) = L(0)e^{nt}</math>
:<math>A(t) = A(0)e^{gt}</math>
O número de unidades de trabalho, <math>A(t) L(t)</math>, portanto, cresce a uma taxa <math>(n + g)</math>. Enquanto isso, o estoque de capital se deprecia ao longo do tempo a uma taxa constante <math>\delta</math>. No entanto, apenas uma fração da saída (<math>CY(t)</math> com <math>0 < c < 1</math>) é consumido, deixando uma parte salva <math>s = 1 - c</math> para investimento:
:<math>\dot{K}(t) = sY(t) - {\delta}K(t)\,</math>
Onde <math>\dot{K}</math> é um atalho para <math>\frac{dK(t)}{dt}</math>, a [[derivada]] em relação ao [[tempo]]. Derivada em relação ao tempo significa que é a mudança no capital social-saída que não é nem salva nem usado para substituir bens de capital velhos desgastados é o investimento líquido. Uma vez que a função de produção <math>Y(K, AL)</math> tem retornos constantes de escala, pode ser escrito como a produção por unidade de trabalho eficaz:<ref group=nota>Calculo passo-a-passo: <math>y(t) = \frac{Y(t)}{A(t)L(t)} = \frac{K(t)^{\alpha}(A(t)L(t))^{1-\alpha}}{A(t)L(t)} = \frac{K(t)^{\alpha}}{(A(t)L(t))^{\alpha}} = k(t)^{\alpha}</math></ref>
:<math>y(t) = \frac{Y(t)}{A(t)L(t)} = k(t)^{\alpha}</math>
O interesse principal do modelo é a dinâmica da intensidade de capital <math>k</math>, o estoque de capital por unidade de trabalho efetivo. O seu comportamento ao longo do tempo é dada pela equação de chave do modelo de Solow-Swan:<ref group=nota>Calculo passo-a-passo: <math>\dot{k}(t) = \frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)} - \frac{K(t)}{[A(t)L(t)]^2}[A(t)\dot{L}(t)+L(t)\dot{A}(t)] = \frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)} - \frac{K(t)}{A(t)L(t)} \frac{\dot{L}(t)}{L(t)} - \frac{K(t)}{A(t)L(t)} \frac{\dot{A}(t)}{A(t)}</math>. Desde que <math>\dot{K}(t) = sY(t) - {\delta}K(t)\,</math>, e <math>\frac{\dot{L}(t)}{L(t)}</math>, <math>\frac{\dot{A}(t)}{A(t)}</math> são <math>n</math> e <math>g</math>, respectivamente, a equação é simplificada <math>\dot{k}(t) = s\frac{Y(t)}{A(t)L(t)} - \delta\frac{K(t)}{A(t)L(t)} - n\frac{K(t)}{A(t)L(t)} - g\frac{K(t)}{A(t)L(t)} = sy(t) - {\delta}k(t) - nk(t) - gk(t)</math>. Como mencionado acima, <math>y(t) = k(t)^{\alpha}</math>.</ref>
:<math>\dot{k}(t) = sk(t)^{\alpha} - (n + g + \delta)k(t)</math>
O primeiro termo, <math>sk(t)^{\alpha} = sy(t)</math>, é o investimento atual por unidade de trabalho efetivo: a fração <math>s</math> da produção por unidade de trabalho efetivo <math>y(t)</math>, que é poupado e investido. O segundo termo, <math>(n + g + \delta)k(t)</math>, é o “investimento break-even”: o montante de investimento que devem ser investidos para prevenir a queda de <math>k</math>.<ref name="Romer2011">{{cite book |first=David |last=Romer |authorlink=David Romer |chapter=The Solow Growth Model |title=Advanced Macroeconomics |edition=Fourth |location=New York |publisher=McGraw-Hill |year=2011 |pages=6–48 |isbn=978-0-07-351137-5 }}</ref>{{rp|16}}
A equação implica que <math>k(t)</math> converge para um valor em estado estacionário em <math>k^*</math>, definida por <math>sk(t)^{\alpha} = (n + g + \delta)k(t)</math>, em que não há nem um aumento nem diminuição da intensidade de capital:
:<math>k^* = \left( \frac{s}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \,</math>
em que o estoque de capital <math>K</math> e trabalho eficaz <math>AL</math> estão crescendo a uma taxa <math>(n + g)</math>. Por hipótese de retornos constantes, saída <math>Y</math> é também crescente a essa taxa. Em essência, o modelo de Solow-Swan prevê que a [[economia]] irá convergir para um equilíbrio do crescimento equilibrado, independentemente do seu ponto de partida.
Nessa situação, o crescimento da produção por trabalhador é determinado unicamente pela taxa de progresso tecnológico.<ref name="Romer2011" />{{rp|18}}
Uma vez que, por definição, <math>\frac{K(t)}{Y(t)} = k(t)^{1-\alpha}</math>, no equilíbrio <math>k^*</math> nós temos
:<math>\frac{K(t)}{Y(t)} = \frac{s}{n + g + \delta} </math>
Portanto, no equilíbrio, a relação <math>\frac{capital}{produto}</math> depende apenas de economia, crescimento e taxas de depreciação. Esta é a versão do modelo de Solow-Swan da taxa de poupança regra de ouro. Desde <math>{\alpha} < 1</math>, a qualquer momento <math>t</math> o produto marginal do capital <math>K(t)</math> no modelo de Solow-Swan é inversamente relacionada com a relação <math>\frac{capital}{trabalho}</math>.
:<math>MPK=\frac{\partial Y}{\partial K}= \frac{{\alpha}A^{1-\alpha}}{(\frac{K}{L})^{1-\alpha}}</math>
Se a produtividade <math>A</math> é o mesmo países de todo, em seguida, os países com menos capital por trabalhador <math>\frac{K}{L}</math> tem um produto superior marginal, o que proporcionaria um maior retorno sobre o investimento de capital. Como conseqüência, o modelo prevê que em um mundo de economias de mercado aberto e do capital financeiro global, o investimento vai fluir dos países ricos para os países pobres, até que o <math>\frac{capital}{trabalhador}</math> <math>\frac{K}{L}</math> e <math>\frac{renda}{trabalhador}</math> <math>\frac{Y}{L}</math> equalizar entre os países. Desde que o produto marginal do capital físico não é mais elevada nos países pobres do que nos países ricos, <ref> {{cite doi|10.1162/qjec.122.2.535}}</ref> a implicação é que a produtividade é menor nos países pobres. O modelo básico de Solow não pode explicar porque a produtividade é menor nesses países. Lucas sugere que níveis mais baixos de capital humano nos países pobres poderia explicar a menor produtividade.<ref name="Lucas1990">{{Cite journal | last1 = Lucas | first1 = Robert | author-link =Robert E. Lucas, Jr. | year=1990 |title= Why doesn't Capital Flow from Rich to Poor Countries? | journal = [[American Economic Review]] | volume = 80| pages = 92–96| issue = 2 | postscript = <!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}</ref>
Se um iguala o produto marginal do capital <math>\frac{\partial Y}{\partial K}</math> com a taxa de retorno <math>r</math> (tal aproximação é frequentemente usado em economia neoclássica), então, para a nossa escolha da função de produção
:<math> \alpha = \frac{K\frac{\partial Y}{\partial K}}{Y} = \frac{rK}{Y} \, </math>
para que <math>\alpha</math> é a fração da renda apropriada pelo capital. Assim, o modelo de Solow-Swan assume desde o início que a divisão da renda entre capital e trabalho se mantém constante.
== Versão Mankiw-Romer-Weil de modelo ==
=== Adicionando Capital Humano ===
[[N. Gregory Mankiw]], [[David Romer]] e [[David Weil]] criaram uma versão do modelo de Solow-Swan adicionando o capital humano, que pode explicar o fracasso do investimento internacional ao fluir para os países pobres.<ref>{{cite doi|10.2307/2118477}}</ref> Neste resultado do modelo e do produto marginal do capital (K) são menores nos países pobres porque têm menos capital humano do que os países ricos. Semelhante ao livro didático do modelo de Solow-Swan, a função de produção é do tipo Cobb-Douglas:
:<math>Y(t) = K(t)^{\alpha} H(t)^{\beta} (A(t)L(t))^{1 - \alpha - \beta}</math>,
Onde <math>H(t)</math> é o estoque de capital humano, o que deprecia na mesma proporção <math>\delta</math> como capital físico. Por questões de simplicidade, que assumem a mesma função de acumulação de ambos os tipos de capital. Como em Solow-Swan, uma fração do resultado, <math>sY(t)</math>, é salvo a cada período, mas, neste caso, se separaram e investiu em parte física e parte em capital humano, de modo que <math>s = s_{K} + s_{H}</math>. Portanto, há duas equações dinâmicas fundamentais neste modelo:
:<math>\dot{k} = s_{K}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)k</math>
:<math>\dot{h} = s_{H}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)h</math>
O caminho de crescimento de equilíbrio equilibrada (ou de estado estacionário) é determinada por <math>\dot{k} = \dot{h} = 0</math>, o que o principal <math>s_{K}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)k = 0</math> e <math>s_{H}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)h = 0</math>. Resolvendo para o nível de [[estado estacionário]] <math>k</math> e <math>h</math> rendimentos:
:<math>k^* = \left( \frac{s_{K}^{1 - \beta} s_{H}^{\beta}}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1- \alpha- \beta}}</math>
:<math>h^* = \left( \frac{s_{K}^{\alpha} s_{H}^{1- \alpha}}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1- \alpha- \beta}}</math>
No estado estacionário, <math>y^{*} = (k^{*})^{\alpha} (h^{*})^{\beta}</math>.
=== Estimativas econométricas ===
Klenow e Rodriguez-Clare lançaram dúvidas sobre a validade do modelo aumentada porque as estimativas Mankiw, Romer e Weil de <math>{\beta}</math> não parecem consistentes com as estimativas aceitas de o efeito de aumento da escolaridade sobre os salários dos trabalhadores. Embora o modelo estimado explica 78% da variação da renda entre os países, as estimativas de <math>{\beta}</math> deu a entender que os efeitos externos do capital humano sobre a renda nacional é maior do que seu efeito direto sobre os salários dos trabalhadores.<ref>{{cite book |last=Klenow|first=Peter J.|last2=Rodriguez-Clare|first2=Andres|editor-first=Ben S.|editor1-last=Bernanke|editor2-first=Julio|editor2-last=Rotemberg|title=NBER Macroeconomics Annual 1997, Volume 12|publisher=National Bureau of Economic Research |date=January 1997 |pages=73–114|chapter=The Neoclassical Revival in Growth Economics: Has It Gone Too Far? |chapterurl=http://www.nber.org/chapters/c11037|isbn=0-262-02435-7|ref=harv}}</ref>
=== Contabilização dos efeitos externos ===
Theodore Breton forneceu uma visão que reconciliou o grande efeito do capital humano de escolaridade no modelo de Mankiw, Romer e Weil com o menor efeito da escolaridade sobre os salários dos trabalhadores. Ele demonstrou que as propriedades matemáticas do modelo incluem efeitos externos significativas entre os factores de produção, porque o capital humano e capital físico são factores multiplicativos de produção.<ref name = breton>{{cite doi|10.1017/S1365100511000824}}</ref>
O efeito externo do capital humano sobre a produtividade do capital físico é evidente no produto marginal do capital físico:
:<math>MPK=\frac{\partial Y}{\partial K}= \frac{{\alpha}A^{1-\alpha}(\frac{H}{L})^{\beta}} {(\frac{K}{L})^{1-\alpha}}</math>
Ele mostrou que os grandes estimativas do efeito do capital humano nas estimativas do modelo pelo país são consistentes com o efeito menor normalmente encontrados em salários dos trabalhadores quando os efeitos externos do capital humano em capital físico e trabalho são levadas em conta. Essa percepção reforça significativamente o caso para a versão Mankiw, Romer e Weil do modelo de Solow-Swan. A maioria das análises que criticam esse modelo não levam em conta os efeitos externos de ambos os tipos de capital inerentes ao modelo.<ref name = breton/>
=== Produtividade Total dos Fatores ===
A taxa exógena de PTF (Produtividade Total dos Fatores) crescimento no modelo de Solow-Swan é o resíduo após a contabilização de acumulação de capital. O Mankiw, Romer e Weil modelo fornece uma estimativa inferior da PTF (residual) do que o modelo básico de Solow-Swan, porque a adição de capital humano para o modelo permite a acumulação de capital para explicar mais a variação da renda entre os países. No modelo básico do residual PTF inclui o efeito do capital humano, pois o capital humano não é incluído como um fator de produção.
{{notas}}
{{Referências}}
== {{Ver também}} ==
{{div col}}
* [[Estado estacionário (economia)|Estado estacionário]]
* [[Crescimento econômico]]
{{div col end}}
== {{Bibliografia}} ==
# Cram101 Textbook Reviews, '''e-Study Guide for: Advanced Macroeconomics by David Romer, ISBN 9780072877304: Economics, Macroeconomics and monetary economics''' , Cram101 Textbook Reviews, 2014 ISBN 1-467-23682-9 {{en}}
{{Portal-economia}}
{{Portal3|Economia}}
{{esboço-economia}}
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