Função polinomial: diferenças entre revisões
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[[Imagem:Função Polinomial.PNG|280px|thumb|Gráfico de uma função polinomial]]
Em [[matemática]], '''função polinomial''' é uma [[função (matemática)|função]] <math>P</math> que pode ser expressa da forma:<ref>{{Citar livro|nome=James |sobrenome=Stewart |título=Cálculo|edição=5 |local=São Paulo |editora=Pioneira Thomson Learning |ano=2006 |página=29 |volume=1 |id=ISBN 8522104794 }}</ref><ref name=Pol>{{Citar livro |sobrenome=K. Shestopaloff |nome=Yuri |autorlink= |coautor= |título=Properties and Interrelationships of Polynomial, Exponential, Logarithmic and Power Functions with Applications to Modeling Natural Phenomena |subtítulo= |url= |língua= |língua2=en |língua3= |formato=Livro |edição= |notasedição= |local= |editora=AKVY PRESS |editor= |ano=2010 |puborig= |notapuborig= |página= |páginas=228 |volume= |volumes=1 |capítulo= |capítulourl= |coleção= |número= |isbn=0-981-38002-6 |isbn2=978-098-138-002-5 |isbn3= |issn= |oclc= |id= |ref= |notas=}}</ref><ref>{{Citar livro |sobrenome=M Lemm |nome=Jeffrey |autorlink= |coautor= |título=Algebra of Polynomials |subtítulo= |url= |língua= |língua2=en |língua3= |formato=Livro |edição= |notasedição= |local= |editora=Elsevier |editor= |ano=2000 |puborig= |notapuborig= |página= |páginas=321 |volume= |volumes=1 |capítulo=Chapter 1 Polynomials and Polynomial Functions |capítulourl= |coleção= |número= |isbn=0-080-95414-6 |isbn2=978-008-095-414-1 |isbn3= |issn= |oclc= |id= |ref= |notas=}}</ref><ref name=pol00>[http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html Funções Polinomiais: uma visão analítica]</ref>
:<math>P \left ( x \right ) = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x^1 + a_{0}x^0= </math> <math>\sum_{i=0}^{n} a_{i}x^i,</math>
em que <math>n</math> é um [[número inteiro]] não negativo e os números <math>a_0, a_1, ... a_{n-1}, a_n</math> são constantes, chamadas de coeficientes do polinômio.
== Grau de uma função polinomial ==
{{Artigo principal|Função homogênea}}
As funções polinomiais podem ser classificadas quanto a seu [[Grau de um polinômio|grau]]. O grau de uma função polinomial corresponde ao valor do maior expoente da [[variável]] do [[polinômio]], ou seja, é o valor de n da função <math>P \left ( x \right )= \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^i.</math>▼
▲As funções polinomiais podem ser classificadas quanto a seu [[Grau de um polinômio|grau]]. O grau de uma função polinomial corresponde ao valor do maior expoente da [[variável]] do [[polinômio]], ou seja, é o valor de <math>n</math> da função <math>P \left ( x \right )= \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^i
Sejam f(x) e g(x) polinômios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintes leis:<ref group="Nota">Normalmente, estas propriedades requerem que f(x) e g(x) não sejam o polinômio nulo, ou que seja adotada a convenção de que o grau do polinômio nulo é [[menos infinito]].</ref>▼
* O grau de f(x).g(x) é a soma do grau de f(x) e do grau de g(x);▼
▲Sejam <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> polinômios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintes leis:<ref group="Nota">Normalmente, estas propriedades requerem que <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> não sejam o polinômio nulo, ou que seja adotada a convenção de que o grau do polinômio nulo é [[menos infinito]].</ref>
* Se f(x) e g(x) têm grau diferente, então o grau de f(x) + g(x) é igual ao maior dos dois; e▼
* Se f(x) e g(x) têm o mesmo grau, então o grau de f(x) + g(x) é menor ou igual ao grau de f(x).▼
▲* O grau de <math>f(x).g(x)</math> é a soma do grau de <math>f(x)</math> e do grau de <math>g(x)</math>;
▲* Se <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> têm grau diferente, então o grau de <math>f(x) + g(x)</math> é igual ao maior dos dois; e
▲* Se <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> têm o mesmo grau, então o grau de <math>f(x) + g(x)</math> é menor ou igual ao grau de <math>f(x)</math>.
=== Funções polinomiais de grau um ===
{{Artigo principal|Função linear}}
[[Imagem:Gráfico3.PNG|200px|thumb|Gráfico de uma função do 1º grau]]
Aqui, n=1. Por isso, os polinômios de grau 1 têm a forma <math>P \left ( x \right )= a_0x^0 + a_1x^1= a_0+a_1x.</math>▼
▲Aqui, <math>n = 1</math>. Por isso, os polinômios de grau 1 têm a forma <math>P \left ( x \right )= a_0x^0 + a_1x^1= a_0+a_1x.</math>
As funções deste tipo são chamadas de [[função afim]]. Se <math>a_0=0,</math> chamamos esta função afim de [[função linear|linear]].▼
▲As funções deste tipo são chamadas de [[função afim]]. Se <math>a_0=0,</math> chamamos esta função afim de [[função linear|linear]].<ref name=Pol /><ref name=pol00 />
Por exemplo,
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=== Funções polinomiais de grau dois ===
{{Artigo principal|Função quadrática}}
[[Imagem:Gráfico 2º Grau.PNG|200px|thumb|Gráfico de uma função do 2º grau|right]]
Uma função quadrática é definida como uma [[função (matemática)|função]] que apresenta o expoente 2 como maior expoente das variáveis. O seu gráfico é constituído por uma [[parábola]]. É expressa por:<ref name=Pol /><ref name=pol00 />
<math>f(x)=ax^2+bx+c.</math>
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=== Funções polinomiais de outros graus ===
* <math>f(x)=2\rightarrow</math> não há variável, mas pode-se considerar que o grau é zero. Esta é uma [[função constante]].<ref name=Pol /><ref name=pol00 />
* <math>f(x)=0\rightarrow</math> neste caso, é conveniente dizer que não há grau, ou que o grau é negativo (menos infinito).
* <math>f(x)=(1/2)x^4 - 7x^3 + (4/5)\rightarrow</math> é uma função polinomial de grau 4. Neste caso: <math>a_0 = 4/5, a_1 = 0, a_2 = 0, a_3 = -7, a_4 = 1/2.</math>
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[[Imagem:Gráfico de uma função constante.PNG|200px|thumb|esquerda|Gráfico de uma função constante]]
Define-se '''função constante''' por :<ref name=Pol /><ref name=pol00 />
Dado um [[número]] <math>k</math>,
<math>f(x)=k , \forall x \in Dom(f)</math>
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<math>Im(f)=\{k\}</math>
Ou seja, o valor da imagem será sempre o mesmo, independente do valor do
O gráfico de uma função [[constante]] é uma reta paralela ao eixo <math>x</math>.
{{-}}
== Polinômios Especiais ==
{{div col|col=4}}
* [[Polinómios de Bernstein]]
* [[Polinômio característico]]
* [[Polinômios de Laguerre]]
* [[Polinômios de Tchebychev]]
* [[Polinômios de Legendre]]
* [[Polinômios de Hermite]]
* [[Polinómio de Newton]]
* [[Polinômio de Hurwitz]]
* [[Polinômio de Lagrange]]
* [[Polinômio irredutível]]
* [[Polinômio homogêneo]]
{{div col end}}
{{limpar}}
== {{Ver também}} ==
{{div col}}
* [[Monômio]]
* [[Cálculo com polinômios]]
* [[Série de potências]]
* [[Coeficiente]]
* [[Divisão polinomial]]
* [[Fatoração polinomial]]
* [[Função racional]]
* [[Frações parciais]]
* [[Fórmulas de Viète]]
* [[Equação algébrica]]
* [[Teorema do resto]]
* [[Anel de polinômios]]
* [[Lema de Gauss]]
* [[Critério de Eisenstein]]
* [[Interpolação polinomial]]
{{div col end}}
{{notas e referências}}
== Bibliografia ==
# Universidade Estadual Paulista, '''Revista de matemática e estatística''' , Volumes 6-8 Centro de Publicações Culturais e Científicas, Universidade Estadual Paulista, 1988, {{OCLC|14346536}}
# Marcia Lourenço, Ana Paula Ern, '''Matemática Elementar: Lembrando e Exercitando''' - 2ª edição Editora Feevale ISBN 8-577-17165-5
# N.Z. Shor, '''Nondifferentiable Optimization and Polynomial Problems''' , Springer Science & Business Media, 1998 ISBN 0-792-34997-0 {{en}}
# Charles C. Carico, '''Complex Numbers; Polynomial Functions''' , Wadsworth Publishing Company, 1974 ISBN 0-534-00329-X {{en}}
# Miguel F. Anjos, Jean B. Lasserre, '''Handbook on Semidefinite, Conic and Polynomial Optimization''' , Springer Science & Business Media, 2011 ISBN 1-461-40769-9 {{en}}
# Ian Grant Macdonald, '''Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials''' , American Mathematical Soc. ISBN 0-821-88271-6 {{en}}
# Paul A. Fuhrmann, '''A Polynomial Approach to Linear Algebra''' , Springer Science & Business Media, 2011 ISBN 1-461-40338-3 {{en}}
# Minggen Lu, '''Analysis of Panel Count Data Using Monotone Polynomial Splines''' , ProQuest, 2007 ISBN 0-549-23452-7 {{en}}
# G. E. Collins, '''Computer Algebra of Polynomials and Rational Functions''' , Mathematical Association of America (Vol. 80, No. 7 (Aug. - Sep., 1973), pp. 725-755) {{DOI|10.2307/2318161}} {{en}}
# Eugene H. Studier, Richard W. Dapson, Roger E. Bigelow, '''Analysis of polynomial functions for determining maximum or minimum conditions in biological systems''' , Pergamon, 1975 {{OCLC|755240069}} {{en}}
# David R. Finston, '''The algebra of polynomial functions on a non-associative algebra''' , University of California, San Diego, 1983 {{DOI|10.2307/2000356}} {{en}}
== Ligações externas ==
* [http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_walter/oficinas/oficina0422005.pdf Funções Polinomiais PUC minas]
{{Funções}}
{{Commons|Função polinomial}}
{{Portal-Matemática}}
{{Portal3|Matemática}}
{{esboço-matemática}}
{{DEFAULTSORT:Função polinomial}}
[[Categoria:Funções matemáticas]]
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