Função limitada: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
menção a função ilimitada na introdução |
correções |
||
Linha 2:
==Função real limitada==
Uma [[função real]] <math>f:D\to\mathbb{R}</math> é limitada se existe uma constante <math>M\geq 0</math> tal que:<ref name=":0">{{citar livro|título = Análise Real - vol. 1|sobrenome = Lima|nome = Elon Lages|edição = 11|local = |editora = IMPA|ano = 2012|página = |isbn = 978-85-244-0048-3}}</ref><ref name=":1">{{citar livro|título = Introdução à análise matemática|sobrenome = Ávila|nome = Geraldo|edição = 2|local = |editora = Edgard Blücher|ano = 2000|página = |isbn = }}</ref>
:<math>|f(x)|\leq M,~~\forall x\in D</math>
Além disso, dizemos que <math>f</math> é uma função limitada superiormente quando existe <math>M \in\mathbb{R}</math> tal que:<ref name=":0" /><ref name=":1" />
: <math>f(x) \leq M,\quad \forall x\in D</math>.
==Propriedades==▼
Sejam duas funções <math>f</math> e <math>g</math> de contra-domínio real. Se <math>f</math> é limitada, e se <math>\lim_{x \rightarrow a} g(x)=0</math>, então <math>\lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x)=0</math>.▼
:'''Demonstração'''▼
Se <math>f</math> é limitada, então existe <math>M \in \mathbb{R}</math>, <math>M \geq 0</math> tal que <math>|f(x)|\leq M</math>.▼
<math>-M \leq f(x) \leq M</math> e assim <math>-Mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x)</math>.▼
Analogamente, dizemos que <math>f</math> é limitada inferiormente quando existe <math>m\in\mathbb{R} </math> tal que:<ref name=":0" /><ref name=":1" />
<math>\lim_{x \rightarrow a}-Mg(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} Mg(x)</math>▼
: <math>m \leq f(x),\quad \forall x\in D </math>.
Desta forma, podemos observar que uma função real é limitada quando for simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Analogamente, uma função real é ilimitada quando for ilimitada superiormente ou inferiormente.
▲== Propriedades ==
▲Sejam duas funções <math>f</math> e <math>g</math> de contra-domínio real. Se <math>f</math> é limitada, e se <math>\lim_{x \rightarrow a} g(x)=0</math>, então <math>\lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x)=0</math>.<ref name=":0" />
▲Suponhamos que <math>g</math> é uma função não-negativa. Se <math>g \equiv 0</math> não há nada mais a fazer. Se <math>g</math> é positiva, temos que como <math>f</math> é limitada, então existe <math>M \in \mathbb{R}</math>, <math>M \geq 0</math> tal que <math>|f(x)|\leq M</math>. Segue que:
▲: <math>-M \leq f(x) \leq M</math> e assim <math>-Mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x)</math>.
Logo:
▲: <math>\lim_{x \rightarrow a}-Mg(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} Mg(x)</math>
:<math>-M\lim_{x \rightarrow a}g(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq M \lim_{x \rightarrow a} g(x)</math>
Linha 19 ⟶ 26:
:<math>0 \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq 0</math>
==Observação==
*Note que um [[funcional linear]] nunca é limitado neste sentido. O termo '''funcional linear limitado''' é um [[funcional]] que leva [[conjunto limitado|conjuntos limitados]] em [[conjunto limitado|conjuntos limitados]].
{{referências}}
{{Funções}}
{{Portal3|Matemática}}
| |||