Wavelet: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 124:
(''ver artigo principal, [[Transformada discreta de wavelet]]'')
É derivada da transformada contínua fazendo-se ''a'' e ''b'' variáveis discretas, em lugar de contínuas, através de uma [[Amostragem de sinal|amostragem]]. O usual é tomar
<math>a \;=\; N^j \qquad b \;=\; k M a \qquad j,k \in \mathbb{N}</math>
Linha 134:
Quanto mais próximo de 1 o valor de ''N'', mais a versão discreta se aproxima da versão contínua. ''N'' normalmente é feito igual a 2 e ''M'' igual a 1, para agilizar os cálculos em computadores e obter-se um número de coeficientes ''h<sub>i,j</sub>'' não muito grande, e ainda conservando toda a informação original de ''f(t)''.
De forma similar, a transformada discreta é uma matriz de coeficientes ''W<sub>j,k</sub>''
<math>W[j,k] \;=\; \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^n f[k] \cdot h^*[j,k] \;=\; \langle f,h \rangle \qquad (3e)</math>
A transformação inversa é uma operação mais delicada, uma vez que a amostragem pode levar a perda de informação. Por isso, não se pode simplesmente aplicar uma versão discreta das fórmulas (4b) e (4c).▼
onde o asterisco denota o conjugado complexo e ''f[k]'' é a sequência de amostras obtida de ''f(t)''. A distância entre os pontos da grade ''W'' não é uniforme, refletindo a propriedade de auto-escalamento da transformada de wavelet contínua. Os limites ''n'' e ''m'' são determinados indiretamente pela escolha de ''N'' e ''M''.
▲A transformação inversa é uma operação mais delicada, uma vez que a amostragem pode levar a perda de informação. Por isso, não se pode simplesmente aplicar a fórmula da inversão, que é uma versão discreta das fórmulas (4b) e (4c)
<math>f(t) \cong f[k] \;=\; \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^n W[j,k] \cdot h[j,k] \;=\; \langle W,h \rangle \qquad (4d)</math>
sem verificar se os coeficientes ''W'' foram calculados adequadamente. Por esse motivo, existe outra técnica para a inversão, baseada na [[Análise multi-resolução|análise do sinal em múltiplos níveis de resolução]], desenvolvida por [[Stéphane Mallat|Mallat]] e [[Yves Meyer|Meyer]], que desenvolveram a teoria das '''[[#wavelets ortonormais|wavelets ortonormais]]'''.
Em aplicações práticas, como é muito difícil obter uma expressão analítica para a transformada contínua, é a versão discreta, calculada por computador, que é empregada. Um dos motivos da popularidade da transformada de wavelet discreta é a existência de um algoritmo que permite calcular os coeficientes com esforço de ordem O(L), onde ''L'' é o tamanho dos dados origiais (ou seja, das amostras de ''f(t)'' e de ''ψ(t)''). Esse algoritmo é chamado de '''transformada rápida de wavelet''' (FWT, do inglês ''Fast Wavelet Transform''). Deve-se salientar que ele é ainda mais eficiente do que o muito conhecido algoritmo da [[transformada rápida de Fourier]] (FFT).
=== Wavelets ortonormais ===
Wavelets [[Ortonormalidade|ortonormais]] são obtidas através da decomposição do sinal por meio de duas funções ''ψ'' e ''φ'', a primeira sendo a wavelet mãe e a segunda, a '''wavelet pai''' ou '''função de escalamento'''. A wavelet pai é uma função contínua e de quadrado integrável, mas não satisfaz a condição (1a); em geral, seu valor médio é normalizado em 1. Usualmente, os valores são reais. Essa wavelet forma uma família de funções ''φ<sub>j,k</sub>'' tal que
<math>\phi_{j,k}(t) \;=\; 2^{\frac{-j}{2}} \cdot \phi \left( \frac{t}{2^j} - k \right) \qquad (3e)</math>
Essas funções são aplicadas ao sinal a ser analisado ''f(t)'' por meio de uma operação de correlação análoga a (3c)
<math>g_{j,k}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \phi_{j,k}(t) \; dt</math>
o que corresponde a uma filtragem que "alisa" o sinal, resultando numa aproximação ''g<sub>j,k</sub>(t)'' para aquela escala definida pelos parâmetros ''j'' e ''k''. Fazendo-se a mesma coisa com a wavelet mãe, obtém-se analogamente uma família de funções ''h<sub>j,k</sub>(t)''. Assim, para cada conjunto de valores {'j'',''k'')., o sinal é decomposto em uma base constituída por duas funções, ''g'' e ''h''.
== Propriedades ==
| |||