Espaço de Hilbert: diferenças entre revisões
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É um [[espaço vectorial|espaço vetorial]] dotado de [[produto interno]], ou seja, com noções de distância e ângulos. Esse espaço obedece uma relação de [[espaço completo|completude]], que garante que os limites existem quando esperados, o que permite e facilita diversas definições da Análise. Os espaços de Hilbert permitem que, de certa maneira, noções intuitivas sejam aplicadas em espaços funcionais. Por exemplo, com eles podemos generalizar os conceitos de [[séries de Fourier]] em termos de [[polinômios ortogonais]]. Os espaços de Hilbert são de importância crucial para a [[Mecânica Quântica]].
Espaços de Hilbert foram criados por [[David Hilbert]], que os estudou no contexto de equações integrais. [[John von Neumann]] criou a nomenclatura "der abstrakte Hilbertsche Raum" em seu famoso trabalho em [[operadores Hermitianos]] não limitados publicado em [[1929]]. Talvez, John Von Neumann
Os elementos de espaço de Hilbert abstrato são chamados ''vetores''. Em aplicações, eles são tipicamente sequências de [[números complexos]] ou [[funções]]. Em [[Mecânica Quântica]], por exemplo, um sistema físico é descrito por um espaço de Hilbert complexo que contém os [[vetores de estado]], que contém todas as informações do sistema e complexidades multifocais.
== Definição ==
Um '''espaço de Hilbert''' é um [[espaço vetorial]] com [[produto interno]] que também é um [[espaço de Banach]] com a norma [[canônica]] definida pelo produto interno:
: <math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}.</math>{{esboço-matemática}}
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