Infinito absoluto: diferenças entre revisões

Cantor também mencionou esta idéiaideia em sua famosa carta para [[Richard Dedekind]] em [[28 de Julho]] [[1899]] [[#Endnotes|^*]]:

:Uma [[multiplicidade]] é dita [[bem-ordenada]] se ela atende a condição que cada sub- multiplicidade tenha um [[Elemento (matemática)|elemento]] inicial; tal como uma multiplicidade de uma pequena seqüênciasequência. Agora eu contemplo o sistema de todos os números representado por ''Ω''. O sistema ''Ω'' é naturalmente ordenado de acordo com sua magnitude, formando uma ''seqüênciasequência''. Agora adicionemos 0 como um elemento extra para esta seqüênciasequência, e certamente colocaremos 0 na primeira posição então ''Ω''* é ainda uma seqüênciasequência .. da qual podemos facilmente nos convencer que cada número que ocorre nela é um [[número ordinal]] da seqüênciasequência de todos seus elementos precedentes. Agora ''Ω''* (e conseqüentementeconsequentemente também ''Ω'') não pode ter uma multiplicidade consistente. Para que ''Ω''* seja consistente, tal como um conjunto bem-ordenado, um numero ''Δ'' deve ser anexado para que ele se torne maior que todos os números do sistema ''Ω''; o número ''Δ'', contudo, também pertence ao sistema ''Ω'', porque ele engloba todos os números. Portanto ''Δ'' deve ser maior que ''Δ'', o que é uma contradição. Portanto o sistema ''Ω'' de todos os numerosnúmeros ordinais é uma inconsistência, multiplicidade '''infinito absoluto'''.''

A ideia que a coleção de todos os números ordinais não possa existir logicamente, parece ser muito [[paradoxo|paradoxal]]. Isto é relatado no ''paradoxo'' de Cesare Burali-Forti para o qual não pode existir nenhum [[número ordinal]] máximo. Todos estes problemas retornam a idéiaideia que, para cada propriedade que pode ser definida logicamente, existe um conjunto de todos os objetos que tem esta propriedade. Contudo, como no argumento de Cantor (acima), esta idéiaideia conduz a certas dificuldades.

Uma solução padrão para este problema é encontrada na [[Teoria de conjuntoconjuntos de Zermelo]], a qual não permite a formação irrestrita de conjuntos de propriedades arbitrarias. Além disto, nós devemos formar um conjunto de todos os objetos que tenham uma dada propriedade, em um senso limitado, enquanto (esperançosamente) preservando a consistência da teoria.