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Teorema de Euclides: diferenças entre revisões

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Correção da Demonstração de Euler que estava inacabada, completei traduzindo a mesma demonstração só que em inglês na wikipedia.
Linha 64:
A demonstração do [[Matemática|matemático]] [[Suíça|suíço]] [[Leonhard Euler]] apoia-se no [[teorema fundamental da aritmética]]: que cada número tem uma única fatorização prima. Sendo ''P'' o conjunto de todos os números primos, Euler escreveu que:
 
: <math display="block">\prod_{p\in P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}.</math>
 
A primeira igualdade é dada pela fórmula para a [[série geométrica]] em cada termo do produto. Para mostrar a segunda igualdade, distribua o produto sobre a soma:
 
: <math display="block">\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_{k\geq 0} \frac{1}{2^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{3^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{5^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{7^k}\times\cdots=\sum_{k,l,m,n,\cdots \geq 0} \frac{1}{2^k 3^l 5^m 7^n \cdots}=\sum_n\frac{1}{n}</math>
<nowiki>:</nowiki>math <nowiki><mathdisplay="block">\prod_{p\in P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}.</math></nowiki>
 
No resultado, todo o produto de primos aparece exatamente uma vez e pelo teorema fundamental da aritmética essa soma é igual a soma de todos os inteiros.
 
A soma na direita é a série harmônica, que diverge. Portanto o produto na esquerda deve divergir também. Como todos os termos do produto são finitos, o número de termos tem de ser infinito; então, existem infinitos números primos.
 
 
== A demostração de Furstenberg ==
Obtida de "https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euclides"