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Autovalores e autovetores: diferenças entre revisões

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[[Ficheiro:Mona Lisa with eigenvector.png|thumb|direita|300px|Fig.1.Observe que neste [[mapeamento]] de cisalhamento da [[Mona Lisa]], a imagem foi deformada de tal modo que o seu eixo central vertical (vector vermelho) não mudou de direção, mas o vector diagonal (azul) mudou de direção. Isso ocorre porque o vetor vermelho é um autovetor da transformação e o vetor azul não é. Caso o vetor vermelho não tenha seu módulo alterado - não seja esticado nem encolhido, o seu valor próprio (autovalor) é igual a 1. Todos os vectores com a mesma direção vertical, isto é, paralelos a este vetor, também são próprios, com o mesmo autovalor. Juntamente com o zero-vetor, eles formam o autoespaço para este autovalor.]]
 
Em [[álgebra linear]], um [[escalar]] λ é '''valor próprio''' (ou '''autovalor''') de um [[operador linear]] ''<math>A'' : ''V''\rightarrow -V</math> ''V'' se existir um [[vector]] '''''x''''' diferente de [[zero]] tal que ''Ax''<math>A\bold{x}=λ''\lambda \bold{x''}</math>. O vector '''''x''''' é chamado [[vector próprio]].
 
Os autovalores de uma dada [[matriz quadrada]] A de dimensão nXn<math>n \times n</math> são os ''n'' números que resumem as propriedades essenciais daquela [[matriz]]. O autovalor de A é um [[número]] λ tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa [[matriz singular]]. Subtrair um [[escalar]] λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a [[matriz identidade]] I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz <math>(A -λI \lambda I)</math> for singular.<ref name="simon">SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. ''matemática para Economistas''.Porto Alegre: Bookman, 2004, reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23, página 583 a 585.</ref>
 
== Multiplicidade ==
Caso o [[espaço vetorial|espaço vectorial]] no qual ''A'' esteja definido tenha dimensão finita, a '''multiplicidade algébrica''' (ou apenas '''multiplicidade''') de um valor próprio λ de ''A'' é o número de factores ''<math>t''-λ\lambda</math> do [[polinómio característico]] de ''A''.
 
== Autovalor de matriz diagonal ==
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== Autovalor de matriz singular ==
{{Artigo principal|Polinômio característico}}
Uma [[matriz quadrada]] "A" é [[matriz singular|singular]] se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma [[matriz]] é singular: <math>det \left ( A-\lambda I \right )=0</math>. para uma [[matriz]] de dimensão nXn, o lado esquerdo desta [[equação]] é um [[polinômio]] de grau n na [[variável]] λ, denominado [[polinômio característico]] de A<ref name=simon/> .
 
== Traço e determinante ==
{{Artigo principal|determinante}}
Suponhamos que os valores próprios (autovalores) de uma [[matriz]] ''A'' são λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,...,λ<sub>n</sub>. Então, o [[Traço (álgebra linear)|traço]] de ''A'' é λ<sub>1</sub>+λ<sub>2</sub>+...+λ<sub>n</sub> e o [[determinante]] de ''A'' é λ<sub>1</sub>λ<sub>2</sub>...λ<sub>n</sub>. Estes são dois conceitos importantes em teoria matricial.
 
== Interpretação geométrica ==
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