Autovalores e autovetores: diferenças entre revisões

Os autovalores de uma dada [[matriz quadrada]] A de dimensão <math>n \times n</math> são os ''n'' números que resumem as propriedades essenciais daquela [[matriz]]. O autovalor de A é um [[número]] λ tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa [[matriz singular]](ou não-invertível). Subtrair um [[escalar]] λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a [[matriz identidade]] I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz <math>(A - \lambda I)</math> for singular.<ref name="simon">SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. ''matemática para Economistas''.Porto Alegre: Bookman, 2004, reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23, página 583 a 585.</ref>

Suponhamos que os valores próprios (autovalores) de uma [[matriz]] ''A'' são λ₁, λ₂, ..., λ_n. Então, o [[Traço (álgebra linear)|traço]] de ''A'' é λ₁ + λ₂ + ... + λ_n e o [[determinante]] de ''A'' é λ₁λ₂...λ_n. Estes são dois conceitos importantes em teoria matricial.

Geometricamente (Fig. 2), a equação do valor próprio (autovalor) ''Ax''<math>A\bold{x}=λ''\lambda \bold{x''}</math> implica que numa transformação ''A'', autovetores sofrem apenas mudança na sua magnitude e sinal -— a direção de ''A'''''x''' é a mesma direção de '''x''' . O autovalor λ indica apenas o tanto quequanto o vetor irá "encolher" ou "esticar" ao sofrer a transformação ''A''. Se λ = 1, o vetor permanece inalterado (não é afetado pela transformação). Se λ = −1 o vetor passa a ter a direção oposta (muda de sentido apenas) e a transformação é chamada [[Reflexão (matemática)|reflexão]]. A transformação ''I'' sob a qual um vetor '''x''' permanece inalterado, ''I'''''x''' = '''x''' é definida como transformação identidade.

</math><ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=autovalores+2|titulo=ConfiraO esteMonitor exemplo- eResolve, façaconfere outrose com <b>O Monitor</b>ilustra|data=|acessodata=2016-03-19 de março de 2016|obra=omonitor.io|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>. Subtraindo 2 de cada entrada da diagonal principal, transformamos A em uma [[matriz singular]]: