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'''In'''tendo sido [[Zenão de Eleia]](495 - 430 a.C.) o protagonista de um dos mais marcantes ataques, através dos [[Paradoxos de Zeno|seus paradoxos]].
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[[Imagem:St@ff@ge.jpg|thumb|240px|direita|Ilusão artística de infinito, lembrando a obra de [[Escher]].]]
'''Infinito''' (do latim ''infinítu'', símbolo: ∞) é um adjetivo que denota algo que não tem início nem fim, ou não tem limites, ou que é inumerável. É também um nome que representa o que não tem limites. Usado em sentido figurado pode significar Deus, o Absoluto ou o Eterno.<ref>{{citar enciclopédia|title=infinito|url=http://www.infopedia.pt/pesquisa-global/infinito|encyclopedia=Infopédia [Em linha]|accessdate=10 de abril de 2011|publisher=Porto Editora|location=Porto|year=2003-2011}}</ref>
É um conceito usado em vários campos, como a [[matemática]], [[filosofia]] e a [[teologia]].
É representado com o símbolo ∞, e na matemática é uma noção quase-numérica usada em proposições.
Distingue-se entre infinito potencial e infinito atual.
O infinito pode ser visto de muitas perspetivas. A intuição percebe-o como uma espécie de "número" maior do que qualquer outro.
Para algumas tribos primitivas é algo maior que três, representando "muitos", algo incontável.
Para um fotógrafo o infinito começa a dez metros da lente, ao passo que para um [[cosmólogo]] pode não ser suficiente para conter o universo.
Para um [[filósofo]] é algo que tem a ver com a [[eternidade]] e a [[divindade]].
Mas é na matemática que o conceito tem as suas raízes mais profundas, sendo a disciplina que mais contribuiu para a sua compreensão<ref name=Maor>{{Citar livro | autor=Maor, Eli | título = To infinity and beyond : a cultural history of the infinite | ano = 1991 | editora= Princeton University Press | local = Princeton, N.J. | id = ISBN 978-0-691-02511-7 | idioma = inglês | url = http://books.google.pt/books?id=lXjF7JnHQoIC }}</ref>.
== Formas de infinito ==
=== Infinito potencial === <!--REDIRECT de "Infinito potencial"-->
O ''infinito potencial'' é a forma mais natural e intuitiva de conceber o infinito, sendo por isso de aceitação geral e não controversa.
Nesta concepção o infinito corresponde a algo que pode ser aumentado, continuado ou estendido, tanto quanto se queira.
Um exemplo é a [[sequência numérica|sequência]] dos [[número natural|números naturais]]: é sempre possível somar mais um, estendendo-a indefinidamente:
:<math>{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ...}</math>
Para [[Platão]] (428? – 347? a.C.) o potencial de extensão era considerado limitado, finito; podia ser adjetivado de ''peiron'' (limitado, claramente determinado). O conceito de infinito propriamente dito era algo irracional, impensável, sem sentido. Inclusive pareceu natural pensar que não faria sentido que Deus tivesse tão indesejada caraterística.
[[Aristóteles]] (384 – 322 a.C.), discípulo de Platão, cuja doutrina marcou muitos pensadores da história, como [[Tomás de Aquino]], também recusou a existência do infinito como algo real ou pensável.
Em boa parte, isso deveu-se aos paradoxos que o conceito de infinito encerra, como [[Paradoxos de Zeno|mostrou Zenão]], que levavam a concluir o infinito como um conceito negativo, irracional e não pensável.
Apesar disso, Aristóteles aceitou a noção de infinito absoluto, ''apeiron'' (ilimitado, ininteligível, caótico).
O [[método dedutivo]], essencial à geometria aristotélica, determina que "''não podemos conhecer os objetos posteriores que não derivem de elementos primeiros''". Mas estes postulados primeiros são indemonstráveis, estão fora da ciência, estando no domínio da ''metamatemática''. São o motor imóvel - absoluto - de todo o resto: Deus.
Portanto, o infinito será algo para além da razão, mas que pode ser pensado como sendo transcendental ou no domínio do divino.<ref name=Heller>{{Citar livro| autor= Achtner, Wolfgang | editor=Heller, Michaeł; Woodin, W. Hugh | título = Infinity : new research frontier | ano = 2011 | editora = Cambridge University Press | local = Cambridge ; New York | id = ISBN 978-1-107-00387-3 | idioma = inglês | url=http://books.google.pt/books?id=PVNbIGS37wMC}}</ref>{{rp|9,23}}<ref name=Radice/>
A infinidade potencial é caraterística da forma intuitiva de conceber o espaço e o tempo, mas não é evidente ou unânime se o infinito potencial será um atributo efetivo do espaço e tempo reais. Ao longo da história vários pensadores tentaram explorar e levar mais longe o conceito de infinito. Por necessidade da [[matemática]], surgiu muito mais tarde a concepção de infinito em ato, que só foi apresentado de forma convincente no [[século XIX]] pela mão de [[Georg Cantor]].
=== Infinito absoluto ===
{{Artigo principal|Infinito absoluto}}
O ''infinito absoluto'', a par do infinito potencial, foi a única outra forma de infinito tomada em linha de conta pelos pensadores durante milénios.<ref name="Radice">{{citar livro|autor=Radice, Lucio Lombardo|título=O Infinito: de Pitágoras a Cantor itinerários filosóficos matemáticos de um conceito base|editora=Editorial Notícias|ano=1981|local=Lisboa}}</ref>{{rp|11}}
[[Aristóteles]] considera o infinito potencial, mas afirma não fazer sentido pensar a sua concretização como um todo completo, um infinito em ato. Impõe-se portanto um limite do processo de atuação, um "fim último", uma ''[[entelequia]]'', usando o termo que os gregos introduziram na linguagem da filosofia.<ref name=Radice/> {{rp|13,16}}
Este conceito de infinito como absoluto entrou na doutrina filosófica cristã. No [[século XIII]] esta contém muitos elementos da ''[[Suma Teológica]]'' de [[Tomás de Aquino]], o qual, por sua vez, absorvera a estrutura filosófica de Aristóteles.
A concepção do infinito aristotélico-tomista manteve-se dominante desde a civilização greco-latina até ao [[Renascimento]].<ref name="Radice"/> {{rp|16-17}}
No [[século XIX]], [[Georg Cantor]] desafiou a visão do infinito como algo que não podia ser tratado racionalmente e desenvolveu a sua teoria dos [[transfinito]]s. Esta teoria, apesar de ter permitido aumentar a compreensão do infinito, tinha os seus próprios limites, pelo que Cantor foi levado a concluir a existência de um infinito Absoluto, que consegue estar para além de toda a criação racional.
=== Infinito atual === <!--REDIRECT de "Infinito atual"-->
O ''infinito atual'', ''infinito real'' ou ainda ''infinito completo'', é um conceito mais abstrato e controverso: faz sentido a existência por completo de uma entidade com um número infinito de elementos?
O [[aristotelismo]] nega a existência do infinito atual, que ele seja físico ou abstrato, tendo sido esta a posição dominante durante milénios.
Pontualmente surgiram algumas vozes dissonantes, que admitiam pensar o infinito para lá do potencial como atual: Deus poderia ter uma natureza infinita atual, e não apenas um processo com potencial. São exemplos disso [[Gregório de Nissa]], [[Nicolau de Cusa]] e, muito mais tarde, [[Georg Cantor]]. Em bom rigor, os pioneiros do conceito de infinito atual ainda o associavam ao ''apeiron'' - algo logicamente incoerente. Foi Cantor o primeiro a mostrar que o conceito poderia ser trabalhado de forma lógica e racional .
Na matemática, notou-se que existe uma grande diferença qualitativa entre uma [[Sucessão matemática|sucessão potencial infinita]] de elementos, [[matemática discreta|discretos]], e a sucessão de pontos de um [[segmento de reta]], aquilo que é chamado de linha contínua.
No primeiro caso podemos acrescentar sempre mais um elemento, dando mais um passo para o elemento seguinte. Uma sucessão é infinitamente extensível.
No caso do contínuo não faz sentido falar do elemento seguinte: entre um determinado ponto e outro posterior, tão próximo quanto se queira, é sempre possível encontrar um ponto intermédio, e assim consecutivamente, até ao infinito.
Um segmento contínuo é infinitamente divisível.
Este segundo tipo de infinito levanta grandes questões sobre o infinito potencial, pois parte-se de um todo dado (o segmento de reta) que pode conter um si uma infinidade de elementos. O infinito em ato parece ser um propriedade necessária do ''contínuo''.<ref name=Radice/>
Estas propriedade do segmento de reta foram explicadas através do conceito de ''[[infinitésimo]]'': "números" indefinidamente pequenos, menores do que qualquer número real. Este conceito tem raízes na grécia antiga, no [[atomismo]] de [[Leucipo de Mileto]] (século V a.C.) e seu discípulo [[Demócrito de Abdera]] (460 - 370 a.C.). O atomismo foi criticado ao longo da história, tendo sido [[Zenão de Eleia]](495 - 430 a.C.) o protagonista de um dos mais marcantes ataques, através dos [[Paradoxos de Zeno|seus paradoxos]].
Foi recuperado mais tarde, para servir de fundamento ao [[cálculo infinitesimal]] de [[Leibniz]] (1646 - 1716) e [[Newton]] (1643 - 1727). Apesar da sua eficácia na matemática e na física, os infinitésimos apresentavam inconsistências, presentes no facto de serem simultaneamente não-finitos e não-nulos.
Este paradoxo só foi resolvido muito mais tarde, com o advento do [[cálculo]] e das [[série convergente|séries convergentes]]. Com efeito, o paradoxo da Dicotomia corresponde à seguinte formalização matemática {{rp|42}}:
: <math>{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots+{1 \over 2^n}+\cdots = \lim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1</math>.<ref name="Radice">{{citar livro|editora=Editorial Notícias|ano=1981|local=Lisboa|autor=Radice, Lucio Lombardo|título=O Infinito: de Pitágoras a Cantor itinerários filosóficos matemáticos de um conceito base}}</ref>
=== Paradoxo de Galileu ===
== História do conceito ==
Os povos anteriores aos gregos, como os árabes, hindus, chineses, babilónios ou os egípcios, tinham já uma matemática desenvolvida. No entanto, esta debruçava-se exclusivamente sobre problemas do dia-a-dia, de cariz prático, como o cálculo de áreas, volumes, peso e tempo.
Não existia espaço para um termo ambíguo como o infinito, pois nada na vida do dia-a-dia era infinito.<ref name="Maor">{{Citar livro|url=http://books.google.pt/books?id=lXjF7JnHQoIC|editora=Princeton University Press|ano=1991|local=Princeton, N.J.|id=ISBN 978-0-691-02511-7|autor=Maor, Eli|título=To infinity and beyond : a cultural history of the infinite|idioma=inglês}}</ref> {{rp|2-3}}
Apesar disso, existem relatos da utilização do infinito na matemática hindu, relacionada com a utilização do zero. [[Brahmagupta]] definiu a [[divisão por zero]] como tendo resultado ''a/0'', sem especificar o significado. Mais tarde [[Bhaskara II]] (1150) e Ganesa (1558) fizeram a ligação explícita com o conceito de infinito. Ganesa afirmou que ''a/0'' é "uma quantidade indefinida e ilimitada, ou infinita: não possivel determinar o quão grande é. É inalterada pela adição ou subtração de quantidades finitas".<ref name=Baron>{{Citar livro | autor = Baron, Margaret E | título = The origins of the infinitesimal calculus | ano = 2003 | editora = Dover Publications | local = Mineola, N.Y. | id= ISBN 978-0-486-49544-6 | idioma = inglês | url= http://books.google.pt/books?id=S0L9Njm3xp8C}}</ref>
Só se sentiu a necessidade de pensar sobre o infinito quando a matemática passou de uma disciplina exclusivamente prática para uma disciplina teórica, o que veio a acontecer na [[Grécia Antiga]], no [[século VI a.C.]].<ref name=Maor/> {{rp|3}}
Apesar de o infinito matemático ser reconhecido por filósofos como [[Pitágoras]], [[Parménides]] e [[Platão]], era tomado como um conceito "negativo": algo irracional, inacessível, até mesmo intratável.<ref name="Heller">{{Citar livro|url=http://books.google.pt/books?id=PVNbIGS37wMC|editora=Cambridge University Press|ano=2011|local=Cambridge ; New York|id=ISBN 978-1-107-00387-3|autor=Achtner, Wolfgang|editor=Heller, Michaeł; Woodin, W. Hugh|título=Infinity : new research frontier|idioma=inglês}}</ref> {{rp|20,55}}
O pensamento de [[Aristóteles]] (384 - 322 a.C.) foi o que permaneceu dominante tendo uma forte influência de pensar o infinito, pela filosofia e teologia até ao século XVII.<ref name=Radice/>
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