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== Construção dos grupos de homologia ==
Seja <math>\mathcal{C}</math> um [[complexo de cadeias]]
A construção começa com um objeto tal como um espaço topológico <math>X</math>, no qual um primeiro define um ''[[complexo de cadeia]]'' <math> C(X)</math> codificando informações sobre <math>X</math>. Um complexo de cadeia é uma sequência de grupos abelianos ou módulos <math>C_0, C_1, C_2, \cdots </math>, conectados por um [[homomorfismo de grupo | homomorfismos]] <math>\partial_n: C_n \to C_ {n-1}</math>, que são chamados de '''operadores limites.'''<ref>{{Harvnb|Hatcher|2002|p=106}}</ref> Isto é,▼
::<math>\ldots \to
A_{n+1} \begin{matrix} d_{n+1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_n \begin{matrix} d_n \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_{n-2} \to \ldots \to
A_2 \begin{matrix} d_2 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \to \\ \, \end{matrix} 0.</math>
Definimos o n-ésimo '''grupo de homologia''' de <math>\mathcal{C}</math> como <math> H_n(\mathcal{C})=Nuc(d_n)/Im(d_{n+1})\,</math>.
▲
:<math>\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
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em analogia com o ''n''-ésimo grupo de homologia.
As diversas maneiras de se associar um complexo de cadeias a um espaço topológico (ou por vezes, a um par de espaços topológicos), são chamadas de [[teoria da homologia|teorias de homologia]]. Algumas teorias de homologia para [[Variedade (matemática)#Variedades diferenciáveis|variedades diferenciáveis]] são: a [[homologia singular]], a [[homologia de Čech]], a [[homologia de Morse]] e a [[homologia de de Rham]].
== Tipos de homologia ==
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