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: <math>\cdots \to C_{i+1}\stackrel{\partial_{i+1}}{\to} C_i \stackrel{ \partial_i}{\to}\ C_{i-1} \to \cdots </math>
Por definição, a [[homologia singular]] de ''X'' é a homologia deste complexo de cadeia (o núcleo de um homomorfismo módulo a imagem do anterior). Mais detalhadamente, ''C<sub>i</sub>'' é o [[grupo abeliano livre]] no conjunto das funções contínuas do padrão ''i''-simplexo para ''X'' ( chamado "Singular ''i'' -simplexo em ''X''"), e ∂<sub>''i''</sub> é o ''i''-ésimo homomorfismo de fronteira. Os grupos ''C''<sub>''i''</sub> são zero para ''i'' negativo.
NowAgora fixfixe anum abeliangrupo groupabeliano ''A'', ande replacesubstitua eachcada groupgrupo ''C<sub>i</sub>'' bypelo itsseu [[ dualEspaço space|dual |grupo groupdual]] ''C''<sub>''i''</sub>* := Hom(''C<sub>i</sub>'', ''A''), ande ∂<sub>''i''</sub> bypor itsseu [[ Espaço dual | space#Transposehomomorfismo of a linear map|dual homomorphism]] ▼
By definition, the [[singular homology]] of ''X'' is the homology of this chain complex (the kernel of one homomorphism modulo the image of the previous one). In more detail, ''C<sub>i</sub>'' is the [[free abelian group]] on the set of continuous maps from the standard ''i''-simplex to ''X'' (called "singular ''i''-simplices in ''X''"), and ∂<sub>''i''</sub> is the ''i''<sup>th</sup> boundary homomorphism. The groups ''C''<sub>''i''</sub> are zero for ''i'' negative.
▲Now fix an abelian group ''A'', and replace each group ''C<sub>i</sub>'' by its [[dual space|dual group]] ''C''<sub>''i''</sub>* := Hom(''C<sub>i</sub>'', ''A''), and ∂<sub>''i''</sub> by its [[dual space#Transpose of a linear map|dual homomorphism]]
: <math>d_{i-1}: C_{i-1}^* \rightarrow C_{i}^*,</math>
para obter o complexo de cocadeias
to obtain the cochain complex
: <math>\cdots \to C_{i-1}^* \stackrel{ d_{i-1}}{\to}\ C_{i}^* \stackrel{d_i}{\to} C_{i+1}^* \to \cdots </math>
ForPara anum integerinteiro ''i'', theo ''i''<sup>th</sup>-ésimo '''cohomologygrupo de groupcohomologia''' ofde ''X'' withcom coefficientscoeficientes inem ''A'' isé defineddefinido tocomo besendo ker(''d''<sub>''i''</sub>)/im(''d''<sub>''i''−1</sub>) ande denoteddenotado bypor ''H''<sup>''i''</sup>(''X'', ''A''). TheO groupgrupo ''H''<sup>''i''</sup>(''X'', ''A'') isé zero forpara ''i'' negativenegativo. TheOs elementselementos ofde ''C''<sub>''i''</sub>* aresão calledchamados '''singular ''i''-cochainscocadeia singular''' withcom coefficientscoeficientes inem ''A''. (EquivalentlyEquivalentemente, anuma ''i''-cochaincocadeia onsobre ''X'' canpode beser identifiedidentificada withcomo auma functionfunção fromde theum setconjunto ofdo singular ''i''-simplicessimplexo inem ''X'' topara ''A''.) ElementsElementos ofdo kerKer(''d'') ande im(''d'') aresão calledchamados '''cocyclescociclos''' ande '''coboundariescolimites''', respectivelyrespectivamente, whileenquanto elementselementos ofde ker(''d'')/im(''d'') = ''H''<sup>''i''</sup>(''X'', ''A'') aresão calledchamados de '''cohomology classes de cohomologia''' (becauseporque theyeles aresão [[equivalenceclasses de classequivalência]]es ofdos cocyclescociclos).
No que se segue, o grupo de coeficientes ''A'' algumas vezes não é escrito. É comum tomar ''A'' para ser um [[anel comutativo]] ''R''; então os grupos de cohomologia são ''R'' - [[Módulo (matemática)|módulos]]. Uma escolha padrão é o anel '''Z''' dos [[Números inteiros|inteiros]].
In what follows, the coefficient group ''A'' is sometimes not written. It is common to take ''A'' to be a [[commutative ring]] ''R''; then the cohomology groups are ''R''-[[module (mathematics)|module]]s. A standard choice is the ring '''Z''' of [[integer]]s.
Some of the formal properties of cohomology are only minor variants of the properties of homology:
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