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Fundir parcialmente com Nabla. // Essas identidades estavam no verbete Nabla, mas foram apagadas por serem alheias ao assunto daquela página. Transcrevo-as aqui, mas não cheguei a verificar se estão corretas… |
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Linha 1:
{{ver desambig|a tecla de computador|Delete}}
{{ver desambig|Diodo emissor de luz|LED}}
No [[cálculo vectorial]], o '''del''' é um [[operador diferencial]] representado pelo símbolo [[nabla]] <math>\left( \nabla \right)</math>.
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:<math> \Delta f = f_Q - f_P = \int^{\gamma_Q}_{\gamma_P} \nabla f \cdot \vec{d\gamma}</math>
==== Identidades do gradiente ====
#<math>\nabla (f+g) = \nabla f + \nabla g</math><br />
#<math>\nabla (fg) = f \nabla g + g \nabla f</math><br />
===Derivada direcional===
Linha 62 ⟶ 67:
Denomina-se '''convergência''' o [[inverso aditivo]] da divergência.
==== Identidades da divergência ====
#<math>\nabla \cdot(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})= \nabla\cdot\overrightarrow{F} + \nabla \cdot\overrightarrow{G}</math><br />
===Rotacional===
Linha 78 ⟶ 86:
\end{align}</math>
==== Identidades do rotacional ====
#<math>\nabla\times(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})= \nabla\times\overrightarrow{F} + \nabla\times\overrightarrow{G}</math><br />
===Operações combinadas===
Linha 121 ⟶ 132:
O laplaciano de <math>f</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dado pela seguinte soma:
:<math>\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
==== Outras combinações ====
#<math> \nabla \cdot(f\overrightarrow{F})= ( \nabla f)\cdot\overrightarrow{F} +f( \nabla \cdot\overrightarrow{F})</math><br />
#<math> \nabla \times(f\overrightarrow{F})= ( \nabla f)\times\overrightarrow{F}+ f( \nabla \times\overrightarrow{F})</math><br />
#<math> \nabla \cdot(\overrightarrow{F}\times\overrightarrow{G})= \overrightarrow{G}\cdot( \nabla \times\overrightarrow{F}) -\overrightarrow{F}\cdot( \nabla \times\overrightarrow{G})</math><br />
#<math> \nabla (\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{G})= (\overrightarrow{G}\cdot \nabla )\overrightarrow{F}+(\overrightarrow{F}\cdot \nabla )\overrightarrow{G} +\overrightarrow{G}\times( \nabla \times\overrightarrow{F})+ \overrightarrow{F}\times( \nabla \times\overrightarrow{G}) </math>
#<math> \nabla \times(\overrightarrow{F}\times\overrightarrow{G})= (\overrightarrow{G}\cdot \nabla )\overrightarrow{F}-\overrightarrow{G}( \nabla \cdot\overrightarrow{F}) - (\overrightarrow{F}\cdot \nabla )\overrightarrow{G}+ \overrightarrow{F}( \nabla \cdot\overrightarrow{G}) </math>
#<math> \nabla \times ( \nabla \times \overrightarrow{F} ) = \nabla ( \nabla \cdot\overrightarrow{F}) - \nabla ^2 \overrightarrow{F} </math> dado que funções <math>\;f\;</math> e <math>\;\overrightarrow{F}\;\;</math> têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas<br />
#<math> \nabla \times ( \nabla f) = \overrightarrow{0}</math> dado que funções <math>\;f\;</math> e <math>\;\overrightarrow{F}\;\;</math> têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas<br />
#<math> \nabla \cdot ( \nabla \times \overrightarrow{F} ) = 0</math> dado que funções <math>\;f\;</math> e <math>\;\overrightarrow{F}\;\;</math> têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas<br />
===Laplaciano vectorial===
Linha 145 ⟶ 166:
\end{align}</math>
==Vector del==▼
Apesar de
:<math>\
…onde <math>h_i</math> é o módulo do vetor <math>\hat{q}_i</math>.
▲==Vector del==
▲Apesar de ser um grave caso de [[abuso de notação]] é extremamente comum se encontrar a seguinte definição de '''del''':
=== Em coordenadas cartesianas ===
:<math>\vec \nabla = \sum^i \hat e_i \cdot \frac{\partial}{\partial \vec x_i}</math>▼
Em [[coordenadas cartesianas]], em que <math>h_i=1</math> obtém-se:
: <math>\overrightarrow{\nabla} = \hat{i}{\partial \over \partial x} + \hat{j}{\partial \over \partial y} + \hat{k}{\partial \over \partial z}.</math>
=== Em coordenadas cilíndricas ===
Em [[coordenadas cilíndricas]] em que <math>h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho</math>, obtém-se:
: <math>
▲
+\frac{\hat{\varphi}}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi}+
\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}
</math>
=== Em coordenadas esféricas ===
Em [[coordenadas esféricas]], em que <math>h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta</math>, obtém-se:
: <math>
\overrightarrow{\nabla} = \hat{r}\frac{\partial }{\partial r}
+\frac{\hat{\theta}}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+
\frac{\hat{\varphi}}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}
</math>
=== Derivada direcional com o vector del ===
Com o vector del, a [[derivada direcional]] pode ser redefinida como a [[combinação linear]] de <math>\vec u</math> com <math>\vec \nabla</math>:
:<math>\vec \nabla_{\vec u} = \sum^i \vec u_i \cdot \frac{\partial}{\partial \vec x_i} = \vec u \cdot \vec \nabla</math>
Linha 166 ⟶ 209:
:<math>\vec \nabla_{\vec u} = \vec u_x \cdot \frac{\partial}{\partial x} + \vec u_y \cdot \frac{\partial}{\partial y} + \vec u_z \cdot \frac{\partial}{\partial z}</math>
=== Divergência com o vector del ===
A divergência passa a ser a [[combinação linear]] (não o [[produto escalar]]! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão:
:<math>\vec \nabla \cdot \vec F = \sum^i \frac{\partial}{\partial \vec x_i} \, \cdot \, \vec F_i</math>
=== Laplaciano com o vector del ===
A [[combinação linear]] do vector del consigo mesmo forma o operador laplaciano:
Linha 178 ⟶ 223:
:<math>\vec \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}</math>
=== Rotacional com o vector del ===
Daí admitimos outro abuso de notação para definir rotacional:
Linha 195 ⟶ 241:
Nesse caso, de certa forma, temos sim um [[produto vectorial]] entre o vector del e o campo vectorial.
===
O uso do vector del pode gerar muita confusão – por exemplo, a multiplicação envolvendo vector del e não é comutativa, distributiva nem euclideana; também o vector del não tem magnitude nem direcção. Esses fatores podem induzir iniciantes ao erro.
== Alternativas ao símbolo nabla ==
O símbolo [[nabla]] foi introduzido por [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]] e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:
Linha 211 ⟶ 257:
:<math>\nabla \times \vec F = \mbox{curl} \vec F = \mbox{rot} \vec F</math>
Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta
:<math>\nabla^2 f = \mbox{div} \mbox{grad} f = \Delta f</math>
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