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Momento linear: diferenças entre revisões

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{{revisão-sobre|Física|data=agosto de 2012}}
{{Mecânica Clássica|Sistema de partículas}}Na mecânica newtoniana, '''o momento linear''' (também chamado de '''quantidade de movimento''' ou '''momentum linear''', a que a linguagem popular chama, por vezes, balanço ou "embalo") é o produto da [[massa]] e [[velocidade]] de um objeto, quantificado em quilograma-metro por segundo (unidade SI kg⋅m / s) . É dimensionalmente equivalente ao impulso, o produto da força e do tempo, quantificado em newton-seconds. A [[Segunda Lei de Newton|segunda lei]] do movimento de Newton afirma que a mudança no impulso linear de um corpo é igual ao impulso líquido que atua sobre ele. Por exemplo, um caminhão pesado movendo-se rapidamente tem um grande impulso, e leva muito tempo ou esforço para colocar o caminhão até essa velocidade, e levaria uma força similar, grande ou prolongada, para que ele parasse. Se o caminhão fosse mais leve, ou movendo-se mais devagar, então teria menos impulso e, portanto, menos impulso para começar ou parar.
{{Mecânica Clássica|Sistema de partículas}}
{{Mecânica do contínuo|Leis}}
 
Como a velocidade, o momento linear é uma [[grandeza vetorial]], possuindo direção e sentido:{{Mecânica do contínuo|Leis}}<math>\vec{P}_{} = m.\vec{v}\,\!</math>
[[Imagem:Newtons cradle animation book.gif|direita|200px|thumb|Dispositivo que ilustra a conservação do momento linear.]]
 
Onde <math>\vec{P}_{}</math> é o vetor tridimensional que indica o impulso do objeto nas três direções do espaço tridimensional, <math>\vec{v}\,\!</math> é o vetor de velocidade tridimensional que dá a taxa de movimento do objeto em cada direção e m é a massa do objeto.
O '''momento linear''' (também chamado de '''quantidade de movimento''' ou '''momentum linear''', a que a linguagem popular chama, por vezes, '''balanço''' ou "embalo") é uma das duas [[grandezas físicas]] fundamentais necessárias à correta descrição do inter-relacionamento (sempre mútuo) entre dois entes ou sistemas físicos. A segunda grandeza é a [[energia]]. Os entes ou sistemas em interação trocam energia e momento, mas o fazem de forma que ambas as grandezas sempre obedeçam à respectiva lei de conservação.
 
O momento linear é uma das duas [[grandezas físicas]] fundamentais necessárias à correta descrição do inter-relacionamento (sempre mútuo) entre dois entes ou sistemas físicos. A segunda grandeza é a [[energia]]. Os entes ou sistemas em interação trocam energia e momento, mas o fazem de forma que ambas as grandezas sempre obedeçam à respectiva lei de conservação, o que significa que se um sistema fechado não for afetado por forças externas, seu momento linear total não pode mudar.
Em [[mecânica clássica]] o '''momento linear''' é definido pelo produto da [[massa]] pela [[velocidade]] de um corpo. É uma grandeza vetorial, com direção e sentido, cujo módulo é o produto da massa pelo módulo da velocidade, e cuja direção e sentido são os mesmos da [[velocidade]]. A quantidade de movimento total de um conjunto de objetos permanece inalterada, a não ser que uma [[força externa]] seja exercida sobre o sistema. Esta propriedade foi percebida por Newton e publicada na obra [[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]], na qual Newton define a quantidade de movimento e demonstra a sua conservação.
 
Na [[mecânica clássica]], a conservação do impulso linear está implícita nas leis de Newton. Particularmente importante não só em [[mecânica clássica]] como em todas as [[teoria]]s que estudam a dinâmica de matéria e energia. Também se mantém na ([[relatividade]], [[mecânicacom quântica]],definições etc.)apropriadas, na élei ade relaçãoconservação existentede entreimpulso olinear momento(generalizada), eestá acontida energiaem paraeletrodinâmica, cada[[mecânica umclássica]] dose entesteoria físicos.do Acampo relaçãoquântico. entre energia e momento é expressaÉ, em todasúltima as teorias dinâmicasanálise, normalmente via uma [[relaçãoexpressão de dispersão]]uma paradas cadasimetrias ente,fundamentais edo grandezas importantes como [[força]]espaço e [[massa]]do têmtempo, seusa conceitosde diretamentesimetria relacionados com estasde grandezastradução.
 
A relação entre energia e momento é expressa em todas as teorias dinâmicas, normalmente  via uma [[relação de dispersão]] para cada ente, e grandezas importantes como [[força]] e [[massa]] têm seus conceitos diretamente relacionados com estas grandezas.
== Fórmulas ==
Na [[física clássica]], a quantidade de movimento linear (<math>\vec{P}\,\!</math>) é definida pelo produto da massa (<math>m\,\!</math>) pela velocidade (<math>\vec{v}\,\!</math>).
 
O momento linear depende do quadro de referência. Os observadores em diferentes quadros encontrariam diferentes valores de impulso linear de um sistema. Mas cada um observaria que o valor do momento linear não varia com o tempo, desde que o sistema esteja isolado.[[Imagem:Newtons cradle animation book.gif|direita|200px|thumb|Dispositivo que ilustra a conservação do momento linear.]]
:<math>\vec{P}_{} = m.\vec{v}\,\!</math>
 
== Mecânica newtoniana ==
O momento linear se conserva (seu valor é constante), sempre que considerarmos sistemas nos quais não há [[força]]s externas atuando, ou que seu somatório seja um valor nulo. Sendo assim, mesmo em uma [[colisão inelástica]] - onde a conservação da [[energia mecânica]] não é observada <ref group=nota>A não conservação da energia mecânica em colisões inelásticas não viola o princípio da conservação da energia em virtude da energia térmica envolvida no processo.</ref> - a conservação do momento linear permanece válida desde que o sistema esteja isolado.
Momento linear tem tanto sentido, quanto direção. Uma vez que o impulso tem uma direção, ele pode ser usado para prever a direção resultante dos objetos depois que eles colidem, e suas velocidades.  Abaixo, as propriedades básicas do momento são descritas em uma dimensão. As equações vetoriais são quase idênticas às equações escalares.
 
=== Partícula única ===
O conceito matemático previamente descrito de momento linear também pode ser ampliado se percebermos que, pela definição de força
O momento linear de uma partícula é tradicionalmente representado pela letra <math>p</math>. As unidades do momento são o produto de duas grandezas, a [[massa]] (representada pela letra <math>m</math>) e a [[velocidade]] (<math>v</math>):<ref name="FeynmanCh93">{{harvnb|Feynman Vol. 1|loc=Chapter 9}}</ref>
:<math>\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt}</math>,
logo
:<math>\vec{P} = \int{\vec{F} dt} </math>.
Segundo esta definição, para <math>\vec{F}</math> '''constante''' temos que
:<math>\vec{P} = \int{\vec{F} dt} = t \vec{F} + k</math>.
Considerando que, se <math>t = 0 \implies \vec{P} = k</math> então <math>k = \vec{P}_0</math>. Desta forma temos
:<math>\vec{P} = t \vec{F} + \vec{P}_0</math>,
válido somente para <math>\vec{F}</math> '''constante'''.
 
 <math>p = m.v</math>
A unidade da quantidade de movimento linear no SI é o quilograma metro por segundo kg.m/s, que pode ser representado também por newton segundo (N.s).
 
Em [[unidades SI]], se a massa estiver em quilogramas e a velocidade em metros por segundo, então o momento é em quilograma de medidor / segundo (kg m / s). Em [[Sistema CGS de unidades|unidades CGS]], se a massa estiver em gramas e a velocidade em centímetros por segundo, então o momento está em gram-centimetres / segundo (g cm / s).
=== Sistema mecânico ===
Diz-se que um sistema está mecanicamente isolado quando o somatório das forças externas é nulo.
 
Sendo um vetor, o momento linear tem magnitude e direção que são iguais aos da velocidade. Por exemplo, um avião modelo de 1 kg, viajando para o norte a 1 m / s em vôo direto e nivelado, tem um momento de 1 kg m / s devido ao norte medido a partir do solo.
Consideremos um casal patinando sobre uma pista de gelo, desprezando os efeitos do ar e as forças de atrito entre a pista e as botas que eles estão usando. Veja que na vertical, a força peso é equilibrada com a normal, ou seja '''P = N''', tanto no homem quanto na mulher, e neste eixo as forças se cancelam. Mesmo que o casal resolva empurrar um ao outro (a [[terceira lei de Newton]] garante que o empurrão é sempre mútuo), não haverá força externa resultante uma vez que a força externa expressa a interação de um ente pertencente ao sistema com outro externo ao sistema: apesar de haver força resultante tanto no homem como sobre a mulher, ambos estão dentro do sistema em questão, e estas forças são forças internas ao mesmo. Na ausência de forças externas há conservação do momento linear do sistema. A conservação do momento linear permite calcular a razão entre a velocidade do homem e a velocidade da mulher após o empurrão, conhecidas as suas massas e velocidades iniciais: Como o momento total deve ser conservado, a variação da velocidade do homem é <math> V_{H}=-M_{M}/M_{H} V_{M} </math>, onde <math> V_{M} </math> é a variação da velocidade da mulher.
 
=== Muitas partículas ===
O impulso de um sistema de partículas é a soma de seus momentos. Se duas partículas tiverem massas <math>m1</math> e <math>m2
</math> e velocidades <math>v1</math> e <math>v2</math>, o impulso total é:
 
<math> \begin{align} p &= p_1 + p_2 \\
&= m_1 v_1 + m_2 v_2\,. \end{align} </math>
 
Os momentos de mais de duas partículas podem ser adicionados de forma mais geral com o seguinte:
 
<math> p=\sum_{i}m_iv_i </math>
 
Um sistema de partículas tem um centro de massa, um ponto determinado pela soma ponderada de suas posições:
 
<math> r_\text{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots} = \frac{\sum\limits_{i}m_ir_i}{\sum\limits_{i}m_i}.</math>
 
Se todas as partículas estiverem se movendo, o [[Centro de massas|centro de massa]] geralmente também estará em movimento (a menos que o sistema esteja em rotação pura em torno dele). Se o centro de massa estiver em movimento à velocidade {{math|''v''<sub>cm</sub>}}, o momento é:
 
<math>p= m.v_\text{cm}</math>
 
Isso é conhecido como a primeira lei de Euler.<ref name="BookRags">{{cite web|url=http://www.bookrags.com/research/eulers-laws-of-motion-wom/|title=Euler's Laws of Motion|accessdate=2009-03-30}}</ref><ref name="McGillKing">{{cite book|title=Engineering Mechanics, An Introduction to Dynamics|edition=3rd|last=McGill and King|publisher=PWS Publishing Company|date=1995|isbn=0-534-93399-8}}</ref>
 
=== Relação entre momento linear e impulso ===
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A unidade de medida de impulso no sistema internacional de unidades é a mesma unidade de medida de momento linear, o kg.m/s, que pode ser representado também por newton segundo (N.s).
 
=== Relação entre momento linear e força ===
Se for aplicada uma força {{math|''F''}} a uma partícula por um intervalo de tempo {{math|&Delta;''t''}}, o momento da partícula muda por uma quantidade
 
<math>\Delta p = F .\Delta t\,</math>
 
Em forma diferencial, esta é a [[Segunda Lei de Newton|segunda lei de Newton]]: a taxa de mudança do momento de uma partícula é proporcional à força {{math|''F''}} que atua sobre ela,<ref name="FeynmanCh93" />
 
<math>F = \frac{dp }{d t}. </math>
 
Se a força for dependente do tempo, a mudança de impulso (ou [[impulso]] {{math|''J''}}) entre os tempos {{math|''t''<sub>1</sub>}} and {{math|''t''<sub>2</sub>}} é
 
<math> \Delta p = J = \int_{t_1}^{t_2} F(t)\, dt\,.</math>
 
O impulso é medido na unidade "newton segundo" (1 N.s = 1 kg.m/s).
 
Sob a assunção de massa constante {{math|''m''}}, é equivalente a escrever
 
<math>F = m\frac{dv}{d t} = m a,</math>
 
Então a força é igual à aceleração vezes a massa,<ref name="FeynmanCh93" />
 
Exemplo: Um avião modelo de 1 kg acelera do repouso para uma velocidade de 6 m / s devido ao norte em 2 s. A força líquida necessária para produzir essa aceleração é de 3 newtons para o norte. A mudança no momento é de 6 kg m/s. A taxa de mudança de momento é de 3 (kg m/s) / s = 3N.
 
=== Conservação ===
Em um [[Sistema fechado (física)|sistema fechado]] (um que não troca nenhuma matéria com seus arredores e não é atuado por forças externas) o impulso total é constante. Esse fato, conhecido como ''lei de conservação do impulso'', está implícito nas [[leis do movimento de Newton]].<ref name="FeynmanCh102">{{harvnb|Feynman Vol. 1|loc=Chapter 10}}</ref><ref>{{cite book|title=Invitation to Contemporary Physics|edition=illustrated|first1=Quang|last1=Ho-Kim|first2=Narendra|last2=Kumar|first3=Harry C. S.|last3=Lam|publisher=World Scientific|year=2004|isbn=978-981-238-303-7|page=19}}</ref>  Suponhamos, por exemplo, que duas partículas interajam. Por causa da terceira lei, as forças entre elas são iguais e opostas. Se as partículas estiverem numeradas 1 e 2, a segunda lei afirma que {{math|''F''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|''dp''<sub>1</sub>|''dt''}}}} and {{math|''F''<sub>2</sub> {{=}} {{sfrac|''dp''<sub>2</sub>|''dt''}}}}. Sendo assim,
 
<math> \frac{d p_1}{d t} = - \frac{d p_2}{d t}, </math>
 
Com o sinal negativo indicando que as forças se opõem. Equivalentemente,
 
<math> \frac{d}{d t} \left(p_1+ p_2\right)= 0. </math>
 
Se as velocidades das partículas são {{math|''u''<sub>1</sub>}} e {{math|''u''<sub>2</sub>}} antes da interação, e depois são {{math|''v''<sub>1</sub>}} e {{math|''v''<sub>2</sub>}}, então
 
<math>m_1 u_{1} + m_2 u_{2} = m_1 v_{1} + m_2 v_{2}.</math>
 
Esta lei é válida, independentemente da complexidade da força entre as partículas. Da mesma forma, se houver várias partículas, o momento trocado entre cada par de partículas se acrescenta a zero, de modo que a mudança total no momento é zero. Esta lei de conservação aplica-se a todas as interações, incluindo [[Colisão de partículas|colisões]] e separações causadas por forças explosivas.<ref name="FeynmanCh102" /> Também pode ser generalizado para situações em que as leis de Newton não são válidas, por exemplo na [[teoria da relatividade]] e na [[eletrodinâmica]].<ref name="Goldstein54">{{harvnb|Goldstein|1980|pp=54&ndash;56}}</ref>
 
=== Dependência do quadro de referência ===
[[File:Relativity_an_apple_in_a_lift.svg|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Relativity_an_apple_in_a_lift.svg|miniaturadaimagem|Maçã de Newton no elevador de Einstein. O quadro de referência da pessoa A, a maçã tem velocidade e impulso não-zero. Nos quadros de referência do elevador e da pessoa B, ele tem zero velocidade e impulso.]]
Momentum é uma quantidade mensurável, e a medida depende do movimento do observador. Por exemplo: se uma maçã está sentada em um elevador de vidro que está descendo, um observador externo, olhando para o elevador, vê a maçã em movimento, então, para aquele observador, a maçã tem um impulso diferente de zero. Para alguém dentro do elevador, a maçã não se move, então, tem zero impulso. Os dois observadores têm um quadro de referência, no qual, observam movimentos e, se o elevador descer de forma constante, eles verão um comportamento consistente com essas mesmas leis físicas.
 
Suponha que uma partícula tenha posição {{math|''x''}} em uma moldura de referência estacionária. Do ponto de vista de outro quadro de referência, movendo-se a uma velocidade uniforme {{math|''u''}}, a posição (representada por uma coordenada pré-preparada) muda com o tempo como
 
<math> x' = x - ut\,.</math>
 
Isso é chamado de [[transformação galileana]]. Se a partícula estiver em movimento à velocidade <math>dx/dt = v</math> no primeiro quadro de referência, no segundo, ele está se movendo em velocidade
 
<math> v' = \frac{dx'}{dt} = v-u\,.</math>
 
Como <math>u</math> não muda, as acelerações são as mesmas:
 
<math> a' = \frac{dv'}{dt} = a\,.</math>
 
Assim, o momento é conservado em ambos os quadros de referência. Além disso, desde que a força tenha a mesma forma, em ambos os quadros, a segunda lei de Newton é inalterada. Forças como a gravidade newtoniana, que dependem apenas da distância escalar entre os objetos, satisfazem este critério. Esta independência do quadro de referência é chamada relatividade newtoniana ou [[invariância de Galileu]].<ref>{{harvnb|Goldstein|1980|p=276}}</ref> 
 
Uma mudança de quadro de referência, pode, muitas vezes, simplificar cálculos de movimento. Por exemplo, em uma colisão de duas partículas, uma moldura de referência pode ser escolhida, onde, uma partícula começa em repouso. Outro, quadro de referência de uso comum, é cálculo do centro de massa - um que se move com o centro de massa. Neste quadro, o momento total é zero.
 
=== Aplicação para colisões ===
Por si só, a lei da conservação do momento não é suficiente para determinar o movimento das partículas após uma colisão. Outra propriedade do movimento, energia cinética, deve ser conhecida. Sendo esta, não necessariamente conservada. Se for conservado, a colisão é chamada de [[colisão elástica]]; Se não, é uma [[colisão inelástica]].
 
==== Colisões elásticas ====
[[File:Elastischer_stoß.gif|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Elastischer_sto%C3%9F.gif|miniaturadaimagem|Colisão elástica de iguais massas]]
Uma colisão elástica é aquela na qual nenhuma [[energia cinética]] é perdida. Podem ocorrer "colisões" perfeitamente elásticas quando os objetos não se tocam, como por exemplo na dispersão atômica ou nuclear onde a repulsão elétrica os separa. Uma manobra de estilingue de um satélite em torno de um planeta também pode ser vista como uma colisão perfeitamente elástica a distância. Uma colisão entre duas bolas de piscina é um bom exemplo de uma colisão quase totalmente elástica, devido à sua alta rigidez; Mas quando os corpos entram em contato, há sempre alguma [[dissipação]].<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/elacol.html|title=Elastic and inelastic collisions|work=Hyperphysics|author=Carl Nave|date=2010|accessdate=2 August 2012}}</ref>
 
Uma colisão elástica frontal entre dois corpos pode ser representada por velocidades em uma dimensão, ao longo de uma linha que passa pelos corpos. Se as velocidades são {{math|''u''<sub>1</sub>}} e {{math|''u''<sub>2</sub>}} antes da colisão e {{math|''v''<sub>1</sub>}} and {{math|''v''<sub>2</sub>}} depois, as equações que expressam a conservação do momento e da energia cinética são:
 
<math>\begin{align} m_1 u_1 + m_2 u_2 &= m_1 v_1 + m_2 v_2\\
\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 &= \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2\,.\end{align}</math>
 
Uma mudança de quadro de referência geralmente simplifica a análise de uma colisão. Por exemplo, suponha que haja dois corpos de massa igual m, um estacionário e um que se aproxima do outro a uma velocidade {{math|''v''}} (como na figura). O centro de massa está se movendo em velocidade {{math|{{sfrac|''v''|2}}}} e ambos os corpos estão se movendo em direção a velocidade {{math|{{sfrac|''v''|2}}}}. Devido à simetria, após a colisão, ambos devem estar se afastando do centro da massa na mesma velocidade. Adicionando a velocidade do centro de massa para ambos, descobrimos que o corpo que estava em movimento agora está parado e o outro está se afastando na velocidade {{math|''v''}}. Os corpos trocaram suas velocidades. Independentemente das velocidades dos corpos, uma mudança para o centro da moldura de massa nos leva à mesma conclusão. Portanto, as velocidades finais são dadas por<ref name="FeynmanCh102" />
 
<math>\begin{align} v_1 &= u_2\\
v_2 &= u_1\,. \end{align}</math>
 
Em geral, quando as velocidades iniciais são conhecidas, as velocidades finais são dadas por<ref>{{cite book|last=Serway|first=Raymond A.|author2=John W. Jewett, Jr|title=Principles of physics : a calculus-based text|date=2012|publisher=Brooks/Cole, Cengage Learning|location=Boston, MA|isbn=9781133104261|page=245|edition=5th}}</ref>
 
<math> v_{1} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_{1} + \left( \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) u_{2}\,</math>
 
<math> v_{2} = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) u_{2} + \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) u_{1}\,.</math>
 
Se um corpo tem uma massa muito maior do que o outro, sua velocidade será pouco afetada por uma colisão enquanto o outro corpo experimentará uma grande mudança.
 
==== Colisões inelásticas ====
[[File:Inelastischer_stoß.gif|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Inelastischer_sto%C3%9F.gif|miniaturadaimagem|Uma colisão perfeitamente inelástica entre massas iguais]]
Em uma colisão inelástica, parte da energia cinética dos corpos colidindo é convertida em outras formas de energia (como calor ou som). Os exemplos incluem colisões de trânsito,<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/carcr.html#cc1|title=Forces in car crashes|work=Hyperphysics|author=Carl Nave|date=2010|accessdate=2 August 2012}}</ref> em que o efeito da energia cinética perdida pode ser visto nos danos aos veículos; Elétrons que perdem parte de sua energia em átomos (como no [[experimento de Franck-Hertz]]);<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/FrHz.html|title=The Franck-Hertz Experiment|work=Hyperphysics|author=Carl Nave|date=2010|accessdate=2 August 2012}}</ref> e [[Acelerador de partículas|aceleradores de partículas]] em que a energia cinética é convertida em massa na forma de novas partículas.
 
Em uma colisão perfeitamente inelástica (como um inseto atingindo um pára-brisa), ambos os corpos têm o mesmo movimento depois. Se um corpo está imóvel para começar, a equação para a conservação do momento é
: <math>m_1 u_1 = \left( m_1 + m_2 \right) v\,,</math>
Então,
: <math> v = \frac{m_1}{m_1+m_2} u_1\,.</math>
Em um quadro de referência movendo-se à velocidade {{math|''v''}}, os objetos são interrompidos pela colisão e 100% da energia cinética é convertida.
 
Uma medida da inelasticidade da colisão é o [[coeficiente de restituição]] {{math|''C''<sub>R</sub>}}, definido como a relação entre a velocidade relativa da separação e a velocidade relativa da abordagem. Ao aplicar esta medida a uma bola saltando de uma superfície sólida, isso pode ser facilmente medido usando a seguinte fórmula:<ref>{{cite book|last=McGinnis|first=Peter M.|title=Biomechanics of sport and exercise|date=2005|publisher=Human Kinetics|location=Champaign, IL [u.a.]|isbn=9780736051019|page=85|edition=2nd|url=https://books.google.com/books?id=PrOKEcZXJ58C&pg=PA85&lpg=PA85&dq=coefficient+of+restitution+bounciness}}</ref>
 
<math>C_\text{R} = \sqrt{\frac{\text{bounce height}}{\text{drop height}}}\,.</math>
 
As equações de impulso e energia também se aplicam aos movimentos de objetos que começam juntos e se separam. Por exemplo, uma explosão é o resultado de uma reação em cadeia que transforma a energia potencial armazenada em formas químicas, mecânicas ou nucleares em energia cinética, energia acústica e radiação eletromagnética. Os foguetes também utilizam a conservação do impulso: o propulsor é empurrado para fora, ganhando ímpeto, e um impulso igual e oposto é transmitido ao foguete.<ref>{{Citation|title=Rocket Propulsion Elements|last=Sutton|first=George|date=2001|url=https://books.google.com/?id=LQbDOxg3XZcC&printsec=frontcover|chapter=1|edition=7th|location=Chichester|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-32642-7}}</ref>
 
=== Múltiplas dimensões ===
[[File:Elastischer_stoß_2D.gif|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Elastischer_sto%C3%9F_2D.gif|miniaturadaimagem|Colisão elástica bidimensional. Não há movimento perpendicular à imagem, portanto apenas dois componentes são necessários para representar as velocidades e os momentos. Os dois vetores azuis representam velocidades após a colisão e adicionam vectorialmente para obter a velocidade inicial (vermelha).]]
O movimento real tem direção e velocidade e deve ser representado por um vetor. Em um sistema de coordenadas com eixos {{math|''x, y, z''}}, a velocidade possui componentes {{math|''v''<sub>x</sub>}} na direção {{math|''x''}}, {{math|''v''<sub>y</sub>}} na direção {{math|''y''}}, {{math|''v''<sub>z</sub>}} na direção {{math|''z''}}. O vetor é representado por um símbolo em negrito:<ref name="FeynmanCh11">{{harvnb|Feynman Vol. 1|loc=Chapter 11}}</ref>
: <math>\mathbf{v} = \left(v_x,v_y,v_z \right). </math>
Da mesma forma, o momento é uma quantidade vetorial e é representado por um símbolo em negrito:
 
<math>\mathbf{p} = \left(p_x,p_y,p_z \right). </math>
 
As equações nas seções anteriores, funcionam em forma de vetor se os escalares {{math|''p''}} e {{math|''v''}} forem substituídos pelos vetores {{math|'''p'''}} e {{math|'''v'''}}. Cada equação vetorial representa três equações escalares. Por exemplo,
 
<math>\mathbf{p}= m \mathbf{v}</math>
 
Representa três equações:<ref name="FeynmanCh11" />
 
<math>\begin{align} p_x &= m v_x\\ p_y &= m v_y \\ p_z &= m v_z. \end{align} </math>
 
As equações de energia cinética são exceções à regra de substituição acima. As equações são ainda unidimensionais, mas cada escalar representa a magnitude do vetor, por exemplo,
 
<math> v^2 = v_x^2+v_y^2+v_z^2\,.</math>
 
Cada equação vetorial representa três equações escalares. Muitas vezes, as coordenadas podem ser escolhidas para que apenas dois componentes sejam necessários, como na figura. Cada componente pode ser obtido separadamente e os resultados combinados para produzir um resultado vetorial.<ref name="FeynmanCh11" />
 
Uma construção simples que envolve o centro da moldura de massa pode ser usada para mostrar que, se uma esfera elástica estacionária for atingida por uma esfera móvel, as duas irão se afastar em ângulo reto após a colisão (como na figura).<ref>{{harvnb|Rindler|1986|pp=26&ndash;27}}</ref>
 
=== Objetos de massa variável ===
O conceito de impulso desempenha um papel fundamental na explicação do comportamento de objetos de massa variável, como um foguete que expulsa combustível ou uma estrela que acumula gás. Ao analisar esse objeto, trata-se da massa do objeto como uma função que varia com o tempo: {{math|''m''(''t'')}}. O momento do objeto no tempo {{math|''t''}} é, portanto, ({{math|''p''(''t'') {{=}} ''m''(''t'')''v''(''t'')}}. Pode-se então tentar invocar a segunda lei do movimento de Newton dizendo que a força externa {{math|''F''}} no objeto está relacionada ao seu momento {{math|''p''(''t'')}} por ''F'' = {{math|''F'' {{=}} {{sfrac|''dp''|''dt''}}}}. Mas isso é incorreto, assim como a expressão relacionada encontrada aplicando a regra do produto para {{math|{{sfrac|''d''(''mv'')|''dt''}}}}:<ref name="kleppner135">{{cite book|last1=Kleppner|last2=Kolenkow|title=An Introduction to Mechanics|page=135&ndash;39}}</ref><math> F = m(t) \frac{dv}{dt} + v(t) \frac{dm}{dt}. \qquad \mathrm{}</math> (incorreto)
 
Esta equação não descreve corretamente o movimento de objetos de massa variável. A equação correta é
 
<math> F = m(t) \frac{dv}{dt} - u \frac{dm}{dt},</math>
 
Onde {{math|''u''}} é a velocidade da massa ejetada/acumulada ''como visto no quadro de descanso do objeto''.<ref name="kleppner135" /> Isso é distinto de {{math|''v''}}, que é a velocidade do próprio objeto como visto em uma moldura inercial.
 
Esta equação é derivada ao acompanhar o impulso do objeto, bem como o momento da massa ejetada / acometida (dm). Quando considerados em conjunto, o objeto e a massa (dm) constituem um sistema fechado em que o impulso total é conservado.
 
<math> P(t+dt) = ( m - dm ) ( v+dv) + dm ( v - u ) = mv+m dv - u dm = P(t) +m dv - u dm
\qquad \mathrm{}</math>
 
== Ver também ==
Obtida de "https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_linear"