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Diz-se que um espaço topológico <math>X</math> é compacto se possuir a [[ Espaço de Hausdorff | propriedade de Hausdorff]] e qualquer recobrimento por abertos de <math>X</math> admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a [[Espaço de Hausdorff| Espaço Hausdorff]] é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.
Uma família <math>\mathcal{F}</math> de subconjuntos de um conjunto <math>X</math> possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, '''p.i.f.''') se, para qualquer <math>\mathcal{F}_0\subseteq\mathcal{F}</math> finita, verificar <math>\bigcap\mathcal{F}_0 \neq\emptyset </math>. É passivo de verificação que, um espaço topológico <math>X</math> é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de <math>X</math> com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.
Uma base para um espaço topológico <math>X</math> é uma coleção de abertos <math>\mathcal{A}</math> de <math>X</math> tal que, para qualquer aberto <math>U\subseteq X</math>, existe <math>\mathcal{B}_U\subseteq \mathcal{B}</math> tal que <math>U = \bigcup \mathcal{B}_U</math>. Uma subbase para <math>X</math> é uma coleção <math>\mathcal{S}</math> não-vazia de abertos desse espaço tal que
* Para qualquer espaço <math>Y</math> a projeção <math>p: X\times Y \to Y</math> é fechada;
* Para qualquer [[espaço normal]] <math>Y </math> a projeção <math>p: X\times Y \to Y</math> é fechada.
Em termos de convergência em um espaço Hausdorff <math>X</math>, é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:
* Qualquer espaço carregando topologia cofinita é quase-compacto.
* A topologia de ordem direita e a topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado são (quase-)compactas.
* Qualquer fechado e limitado de um espaço euclididano é compacto.
* Qualquer compacto da [[Reta de Sorgenfrey]] é enumerável.
* (Teorema de Tychonoff) O produto qualquer de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
== {{Ver também}} ==
* [[Sequencialmente compacto | Espaço sequencialmente compacto]].
* [[Enumeravelmente Compacto| Espaço enumeravelmente compacto]].
* [[Espaço de Lindelöf]].
* [[Compactificação]].
*
== Referências ==
* [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]; ''Elements of Mathematics: General Topology'', Addison–Wesley (1966).
* {{citecitar booklivro
| firstprimeiro = John L.
| lastúltimo = Kelley
| author-linkautorlink = John L. Kelley
| year ano= 1975
| title título= General Topology
| publisher publicado= [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 0-387-90125-6
}}
* {{citation|último1 last1=Munkres |primeiro1 first1=James R. |autorlink1 author1-link=James R. Munkres | titletítulo=Topology | publisherpublicado=[[Prentice Hall, Incorporated]] | locationlocal= | isbn=9780131816299 | yearano=2000}}.
*{{citation|last1último1 =Alexandrov |first1primeiro1 =Pavel |authorlink1=Pavel Alexandrov |last2último2 =Urysohn |first2primeiro2 =Pavel |authorlink2=Pavel Urysohn |titletítulo=Mémoire sur les espaces topologiques compacts |journalperiódico=Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the section of mathematical sciences |volume=14 |yearano=1929}}.
*{{citation|last1último1 =Arkhangel'skii |first1primeiro1 =A.V. |last2último2 =Fedorchuk |first2primeiro2 =V.V. |contributioncontribuição=The basic concepts and constructions of general topology |editor1=Arkhangel'skii, A.V. |editor2=Pontrjagin, L.S. |titletítulo=General topology I |publisherpublicado=Springer |yearano=1990 |isbn=978-0-387-18178-3 |series=Encyclopedia of the Mathematical Sciences |volume=17}}.
*{{springer|id=C/c023530|title=Compact space|first=A.V.|last=Arkhangel'skii}}.
*{{citation|firstprimeiro =Bernard |lastúltimo =Bolzano |authorlinkautorlink =Bernard Bolzano |titletítulo=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege |yearano=1817 |url=http://books.google.com/?id=EoW4AAAAIAAJ&dq=%22Rein%20analytischer%20Beweis%20des%20Lehrsatzes%22&pg=PA2-IA3#v=onepage&q= |publisherpublicado=Wilhelm Engelmann}} (''Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation'').
*{{citation|lastúltimo =Borel |firstprimeiro =Émile |authorlinkautorlink =Émile Borel |titletítulo=Sur quelques points de la théorie des fonctions |journalperiódico=[[Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure]]|series= 3 |volume=12 |yearano=1895 |pagespáginas=9–55 |url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=ASENS_1895_3_12__9_0 |jfm=26.0429.03 }}
*{{citation|último1 last1=Boyer |primeiro1 first1=Carl B. |autorlink1 author1-link=Carl Benjamin Boyer | titletítulo=The history of the calculus and its conceptual development | publisherpublicado=[[Dover Publications]] | locationlocal=New York | mr=0124178 | yearano=1959}}.
* {{citation|firstprimeiro =Cesare |lastúltimo =Arzelà |authorlinkautorlink =Cesare Arzelà |titletítulo=Sulle funzioni di linee |journalperiódico=Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. |volume=5 |issuenúmero=5 |pagespáginas=55–74 |yearano=1895}}.
* {{citation|firstprimeiro =Cesare |lastúltimo =Arzelà |authorlinkautorlink =Cesare Arzelà |titletítulo=Un'osservazione intorno alle serie di funzioni |journalperiódico=Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna |pagespáginas=142–159 |yearano=1882–1883}}.
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*{{citation|primeiro first=Maurice |lastúltimo =Fréchet |authorlinkautorlink =Maurice Fréchet |titletítulo=Sur quelques points du calcul fonctionnel |yearano=1906 |journalperiódico= [[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] |volume=22 |doi=10.1007/BF03018603 |pagespáginas=1–72 |issuenúmero=1}}.
*{{citation|último1 last1=Gillman|first1primeiro1 =Leonard|last2último2 =Jerison|first2primeiro2 =Meyer|titletítulo=Rings of continuous functions|publisherpublicado=Springer-Verlag|yearano=1976}}.
*{{citation|último last=Kelley |firstprimeiro =John |titletítulo=General topology |publisherpublicado=Springer-Verlag |yearano=1955 |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=27}}.
*{{citation|último1 last1=Kline |primeiro1 first1=Morris |autorlink1 author1-link=Morris Kline | titletítulo=Mathematical thought from ancient to modern times | yearano=1972 | publisherpublicado=[[Oxford University Press]] | editionedição=3rd | isbn=978-0-19-506136-9 | publicationdata-datepublicacao=1990}}.
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*{{citation|último1 last1=Robinson |primeiro1 first1=Abraham |autorlink1 author1-link=Abraham Robinson | titletítulo=Non-standard analysis | publisherpublicado=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-04490-3 | id={{MathSciNet | id = 0205854}} | yearano=1996}}.
*{{citation|firstprimeiro =C.T. |lastúltimo = Scarborough |first2primeiro2 = A.H. |last2último2 = Stone |titletítulo= Products of nearly compact spaces |journalperiódico= Transactions of the American Mathematical Society |volume= 124 |yearano=1966 |pagespáginas= 131–147 |doi=10.2307/1994440 |issuenúmero=1 |publisherpublicado=Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 124, No. 1 |jstor=1994440}}.
*{{citation|último1 last1=Steen |primeiro1 first1=Lynn Arthur |autorlink1 author1-link=Lynn Arthur Steen |último2 last2=Seebach |primeiro2 first2=J. Arthur Jr. |autorlink2 author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | titletítulo=[[Counterexamples in Topology]] | origyearanooriginal=1978 | publisherpublicado=[[Springer-Verlag]] | locationlocal=Berlin, New York | editionedição=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446 | yearano=1995}}
==Links externos==
* {{planetmathref|id=1233|title=Countably compact}}
* {{cite arXiv |lastúltimo =Sundström |firstprimeiro =Manya Raman | eprint=1006.4131v1 |titletítulo=A pedagogical history of compactness |class=math.HO |yearano=2010 }}
{{esboço-matemática}}
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