Torção mecânica: diferenças entre revisões
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== Torção geral: Domínios de torção ==
No caso geral pode ser Teoria de Saint-Venant demonstrado que a rotação relativa de uma seção não é constante e não coincide tão pouco com a função de [[Deformação transversal|deformação unitário]]. A partir do caso geral, e definindo-se a [[esbeltez mecânica|esbeltez torsional]] como:<
<
:<math>\lambda_T \approx L\sqrt{\frac{GJ}{EI_\omega}}</math>
<
Onde ''G, E'' são respectivamente o [[módulo de elasticidade transversal]] e o [[módulo de Young|módulo de elasticidade longitudinal]], ''J, I''<sub>ω</sub> são o [[Módulo de torção|módulo torsional]] e o [[Deforma%C3%A7%C3%A3o_transversal#Momento_de_deforma.C3.A7.C3.A3o|momento de deformação]] e ''L'' é o comprimento da barra reta. Podemos classificar os diversos casos de torção geral dentro de limites onde resultam adequadas as teorias aproximadas expostas a seguir.
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Onde:
:<math> \tau_\rho\; </math>: [[Esforço cortante]] à distância <math>\rho</math>.<
:<math>T</math>: [[Momento torsor]] total que atua sobre a seção.<
:<math> \rho\ </math>: distância desde o centro geométrico da seção até o ponto onde se está calculando a tensão cortante.<
:<math>J</math>: [[Módulo de torsão|Módulo de torção]].
<
Esta equação se assenta na hipótese cinemática de Coulomb sobre como se deforma uma peça prismática com [[simetria|simetria de revolução]], ou seja, é uma teoria aplicável só a elementos da seção circular ou circular oca. Para peças com seção desse tipo se supõe que o eixo baricêntrico permanece inalterado e qualquer outra linha paralela ao eixo se transforma em uma espiral que gira ao redor do eixo baricêntrico, ou seja, se admite que a deformação é dada por uns deslocamentos do tipo:<
<
:<math>u_x(x,y,z) = 0 \qquad u_y(x,y,z) = -\alpha(x) z \qquad u_z(x,y,z) = +\alpha(x) y</math>
<
O [[tensor de deformações]] para uma peça sob torção como a anterior se obtém derivando adequadamente as anteriores componentes do vetor de deslocamento:<
<
:<math>\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = 0 \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x}{\partial y} + \frac{\partial u_y}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2} \frac{\partial \alpha}{\partial x}z = -\frac{\alpha'_x z}{2} </math>
:<math>\varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0 \qquad \varepsilon_{xz} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial x}\right) = +\frac{1}{2} \frac{\partial \alpha}{\partial x}y = +\frac{\alpha'_x y}{2}</math>
:<math>\varepsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0 \qquad \varepsilon_{yz} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y}\right)= 0 </math>
<
A partir destas componentes do tensor de deformações usando as [[lei de Hooke|equações de Lamé-Hooke]] levam a que o tensor tensão seja dado por:<
<
:<math>
\mathbf{T}_{tor} = \frac{G}{2}
\begin{bmatrix}
0 & -\alpha'_x z & +\alpha'_x y \\
-\alpha'_x z & 0 & 0 \\
+\alpha'_x y & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>
<
Usando as [[Resistência mecânica|equações de equivalência]] se chega à relação existente entre a função α e o momento torsor:
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=== Torção não reta: Teoria de Saint-Venant ===
Para uma barra reta de seção não circular também da rotação relativa aparecerá uma pequena deformação que requer uma hipótese cinemática mais complicada. Para representar a deformação se pode tomar um sistema de eixos no que X coincida com o eixo da viga e então o vetor de deslocamentos de um ponto de coordenadas (''x, y, z'') venha a ser dado na [[Resistência mecânica|hipótese cinemática]] de Saint-Venant por:<
<
:<math>u_x(x,y,z) = \omega(y,z)\frac{d\theta_x(x)}{dx} \qquad
u_y(x,y,z) = -(z-z_C)\theta_x(x) \qquad
u_z(x,y,z) = +(y-y_C)\theta_x(x)
</math>
<
Onde <math>\theta_x(x)\;</math> é a rotação relativa da seção (sendo sua derivada constante); sendo ''z<sub>C</sub>'' e ''y<sub>C</sub>'' as coordenadas do [[centro de cortante]] em relação ao [[centro de gravidade]] da seção transversal e sendo ω(''y, z'') a função de [[Deformação transversal|deformação unitária]] que dá os deslocamentos perpendiculares à seção e permitem conhecer a forma curvada final a qual tenderá a seção transversal. Convém assinalar, que a teoria, ao postular que a derivada da rotação é constante, é só uma aproximação útil para peça de grande inércia torsional.
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:<math> \mathbf{T}_{tor} = \begin{bmatrix}
0 & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & 0 & 0 \\
\tau_{xz} & 0 & 0 \end{bmatrix} </math>
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\mathbf{T}_{tor} = \begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & 0 & 0 \\
\tau_{xz} & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \begin{cases}
\sigma_{xx}=\omega\cfrac{B_\omega}{I_\omega}\\
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