Fórmula de Leibniz: diferenças entre revisões
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Linha 3:
Explicitamente, seja uma função de ''x'' dada pela [[integral definida]]:
: <math> \int_{y_0}^{y_1} f(x, y) \,dy </math>
então para <math>x \in (x_0, x_1)</math> a derivada desta expressão é:
Linha 12:
: <math>[x_0,x_1]\times[y_0,y_1].</math>
==Exemplos==
===Exemplo 1===
Para computar a integral de Dirichlet
<math> \int_0^\infty \frac {sen\ x} {x} dx = \frac{\pi}{2} </math> considere a seguinte função
<math> f(y)= \int_0^\infty \frac {sen\ x} {x} \ e^{-xy} dx </math>
tal que <math> f(0) </math> é o valor procurado e sabe-se que <math> \lim_{y \to \infty} f(y) = 0. </math>
<math>f'(y) = - \int_0^\infty sen\ x \ e^{-xy} dx</math>
integrando por partes duas vezes
<math>\int sen\ x \ e^{-xy} dx = \frac{-e^{-xy}(cos\ x +y\ sen\ x) }{1+y^2} </math>
portanto
<math>f'(y) = - \frac{1}{1+y^2}</math>
integrando de 0 a infinito dos ambos os lados
<math> \lim_{y \to \infty} f(y) - f(0) = -\frac{\pi}{2} </math>
<math> f(0) = \frac{\pi}{2} </math>
{{mínimo sobre|matemática}}
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