Equação de Schrödinger: diferenças entre revisões
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== Equação ==
=== Equação dependente do tempo ===
Usando a [[bra-ket|notação]] de [[Paul Dirac|Dirac]], o vetor de estados é dado, em um instante <math>t</math> por <math>\left| \psi (\vec{r},t) \right\rangle</math>. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:<ref name= efisica>{{citar web|url=http://efisica.if.usp.br/moderna/mq/schrodinger/|título=A energia e a equação de Schrödinger|data=|acessodata=|website=e-física|publicado=|ultimo=Fleming|primeiro=Henrique}}</ref>
::<math> \hat H \left| \psi (\vec{r},t) \right\rangle = i \hbar \frac{\partial} {\partial t} \left| \psi (\vec{r},t) \right\rangle</math>
Linha 20:
=== Equação independente do tempo ===
==== Equação unidimensional ====
Uma maneira mais didática de observar a Equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:▼
Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:<ref name= eqyoutube>{{citar web|url=https://www.youtube.com/watch?v=ybS23DzHKSg|título=Equação de Schrödinger|data=|acessodata=|website=Youtube|publicado=21 de jun de 2011|ultimo=Martins|primeiro=Jorge Sá}}</ref>
:<math> \frac {-\hbar^2}{2m} \frac{d^{2}\psi\left (x \right)}{dx^2}+V\left (x \right)\psi\left (x \right) = E\psi\left (x \right)</math>,
em que <math>\psi\left (x \right)</math> é a função de onda independente do tempo em função da coordenada <math>x</math>; <math>\hbar</math> é a [[constante de Planck]] <math>h</math> dividida por <math>2\pi</math>; <math>m</math> é a massa da partícula; <math>V\left (x \right)</math> é a função [[energia potencial]] e <math>E</math> é a energia do sistema.
==== Equação multidimensional ====
Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:<ref name= eqyoutube1>{{citar web|url=https://www.youtube.com/watch?v=euJO5rJDG58|título=A Equação de Schrödinger em 2 e 3 Dimensões|data=|acessodata=|website=Youtube|publicado=6 de set de 2011|ultimo=Martins|primeiro=Jorge Sá}}</ref>
:<math> -\frac {\hbar^2}{2m} {{\nabla }^{2}}\psi\left (\vec{r} \right) + V\left (\vec{r} \right)\psi\left (\vec{r} \right) = E\psi\left (\vec{r} \right)</math>
em que <math>{\nabla }^{2}\psi = \sum_{n=1}^N \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_n^2}</math> é o operador [[laplaciano]] em <math>N</math> dimensões aplicado à função <math>\psi</math>.
== Relação com outros princípios ==
▲Uma maneira mais didática de observar a
Definição de Energia Mecânica: <math> E_m = E_c + V </math>
Linha 40 ⟶ 55:
<math> \frac {-\hbar^2}{2m} \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+V\psi = E\psi</math>
Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de [[Operador linear|operadores]]:
<math>\widehat {H}\psi = E\psi</math>, em que <math>\widehat {H}\psi</math> é o [[Hamiltoniano (mecânica quântica)|Operador Hamiltoniano]] operando sobre a [[função de onda]].
== Partícula em uma caixa rígida ==
{{Artigo principal|Partícula em uma caixa}}
== Oscilador harmônico quântico ==
{{Artigo principal|Oscilador harmônico quântico}}
Assim como na [[mecânica clássica]], a [[energia potencial]] do oscilador harmônico simples unidimensional é:<ref name= harmonico>{{citar web|url=https://www.youtube.com/watch?v=kSP1Ll5h7Yo|título=Oscilador Harmônico Quântico|data=|acessodata=|website=Youtube|publicado=19 de jul de 2011|ultimo=Martins|primeiro=Jorge Sá}}</ref>
:<math> V \left (x \right) = \frac{1}{2}kx^2</math>
Lembrando da relação <math>\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}</math>, também pode se escrever:
:<math> V \left (x \right) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2</math>
Então a equação de Schrödinger para o sistema é:
:<math> -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{d x^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi = E\psi</math>
== Átomo de Hidrogênio ==
{{Artigo principal|Átomo de Hidrogênio}}
==Ver também==
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