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A fórmula de somatório de Poisson é geralmente associada com a física em meios condicionados em regime periódico, como no caso do problema da condução de calor em um círculo. A solução fundamental da [[equação do calor]] em um círculo é chamada de [[função teta]]. Ela é usada na teoria dos números para provar as propriedades de transformação das funções teta, que são um tipo de [[forma modular]], e é mais usualmente relacionada à teoria de [[Forma automórfica|formas automórficas]], onde ela aparece em um dos lados da [[:en:Selberg_trace_formula|fórmula do traço de Selberg]].
== Representações da transformada de Fourier ==
=== Forma trigonométrica ===
A forma exponencial da transformada de Fourier de uma função ''f(t)'' e é dada por
<math> F(\omega)=\mathcal{F}{\{f(t)\}} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt. </math>
Se ''f(t)'' é uma função real, então podemos separar a parte real e imaginária da transformada de Fourier, conforme a seguir:
<math> \begin{align} F(\omega) & =\mathcal{F}{\{f(t)\}} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt \\ &
= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) (\cos(\omega t) - i\sin(\omega t))\, dt \\ &
= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) (\cos(\omega t)dt - i \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t))\, dt\\ &
=: A(\omega) - iB(\omega), \\&
onde \\&
A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t)dt \\&
B(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t)\, dt \end{align}
</math>
Nesses termos, a função ''f(t)'' pode ser escrita como:
[[Ficheiro:Tabela traformadas de fourier.png|miniaturadaimagem|592x592px|Comparação entre as formas trigonométrica e exponencial das séries e transformadas de Fourier.]]
<math>\begin{align} f(t) & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) e^{i\omega t}dw \\&
= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(A(\omega)-iB(\omega))(\cos(\omega t) + i\sin(\omega t))\, d\omega \\&
= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(A(\omega)\cos(\omega t)+B(\omega)\sin(\omega t))\, d\omega \\&
+ \frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(A(\omega)\sin(\omega t)-B(\omega)\cos(\omega t))\, d\omega
\end{align}
</math>
Usando o fato que ''A(w)'' é uma função par e ''B(w)'' é uma função ímpar, temos:
<math>\begin{align} f(t) &
= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(A(\omega)\cos(\omega t)+B(\omega)\sin(\omega t))\, d\omega \\&
= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}(A(\omega)\cos(\omega t)+B(\omega)\sin(\omega t))\, d\omega \\&
\end{align}
</math>
== Transformada contínua de Fourier ==
e denotarmos as derivadas de F(ω) como F'(ω), F"(ω) etc., então valem as seguintes propriedades:
==== Linearidade ====
<math>\mathcal{F} \left\{ a \cdot f(t) \;+\; b \cdot g (t) \right\} \;=\; a \cdot \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \;+\; b \cdot \mathcal{F} \left\{ g(t) \right\} \qquad a,b \in \mathbb{C}</math><ref>BRACEWELL, R. - ''op. cit.'', Cap. 6, pág. 110</ref>
===== Demonstração =====
Para demostrar, aplicamos a definição de transformada de Fourier em:
<math>\mathcal{F} \left\{ a \cdot f(t) \;+\; b \cdot g (t) \right\}</math>
Com isso, temos:
<math>= \int_{-\infty}^{\infty} ( a \cdot f(t) \;+\; b \cdot g (t)) e^{-iwt} dt
</math>
Pela propriedade da linearidade da própria [[integral]], podemos separar isto em duas integrais:
<math>= \int_{-\infty}^{\infty} a \cdot f(t) e^{-iwt} dt + \int_{-\infty}^{\infty} b \cdot g (t) e^{-iwt} dt
</math>
E temos ainda, novamente por propriedades da [[integral]], que podemos colocar [[Constante matemática|constantes]] para fora das integrais, de forma que então temos:
<math>= a \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-iwt} dt + b \int_{-\infty}^{\infty} g (t) e^{-iwt} dt
</math>
E por fim, sabendo a definição da transformada de Fourier podemos verificar que temos:
<math>=\; a \cdot \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \;+\; b \cdot \mathcal{F} \left\{ g(t) \right\} \qquad a,b \in \mathbb{C}</math>
==== Similaridade ou Mudança de Escala ====
<math>\mathcal{F} \left\{ f(at) \right\} \;=\; \frac{1}{|a|} \cdot F \left( \frac{\omega}{a} \right) \qquad a \in \mathbb{C}</math><ref>BRACEWELL, R. - ''op. cit.'', Cap. 6, pág. 108</ref>
===== Demonstração =====
Aplicando a transformada temos:
<math>\mathcal{F} \left\{ f(at) \right\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(at) e^{-iwt} dt
</math>
Fazendo a '''mudança de variável''' de '''<math> \tau
</math> = at'''
Para '''a > 0''' temos o seguinte:
<math> = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d \bigg(\frac{\tau}{a}\bigg)
</math>
<math> = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d\tau
</math>
Para '''a < 0''' temos o seguinte:
<math> = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d \bigg(\frac{\tau}{a}\bigg)
</math>
<math> = -\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d\tau
</math>
Portanto é possível chegar a conclusão que temos de fato:
<math> \mathcal{F} \left\{ f(at) \right\} \; = {\frac{1}{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d\tau
</math>
E isto é exatamente:
<math>=\; \frac{1}{|a|} \cdot F \left( \frac{\omega}{a} \right)</math>
===== Exemplo: diagramas de magnitude =====
E para a<1 temos então a compressão do gráfico no eixo w, com a amplitude sendo aumentada inversamente proporcional ao valor de a (neste caso a=1/2):
[[Ficheiro:Grafico4EspectroEscalaa12.png|nenhum|miniaturadaimagem|354x354px|Diagrama de Magnitude da transformada de g(t), para g(t) = f(t/2)]]
==== Deslocamentos ====
'''Deslocamento no eixo t'''
<math>\mathcal{F} \left\{ f(t \;-\; a) \right\} \;=\; e^{- i a \omega} \cdot \mathcal{F}\left\{ f(t) \right\} \qquad a \in \mathbb{C}</math><ref>BRACEWELL, R. - ''op. cit.'', Cap. 6, pág. 111</ref>
'''Demonstração'''
<math>\mathcal{F}\{f(t-a)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t-a)e^{-i\omega t}dt</math>
<math>=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s)e^{-i\omega(s+a)}ds</math>
<math>=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s)e^{-i\omega a}e^{-i\omega s}ds</math>
<math>=e^{-i\omega a}\int_{-\infty}^{\infty} f(s)e^{-i\omega s}ds</math>
<math>=e^{-ia\omega}F(\omega)</math>
<math>=e^{-ia\omega}\mathcal{F}\{f(t)\}</math>
'''Deslocamento no eixo ω'''
<math>\mathcal{F} \left\{ e^{i a t} \cdot f(t) \right\} \;=\; F(\omega - a) \qquad a \in \mathbb{C}</math><ref name="Bracewell135">BRACEWELL, R. - ''op. cit.'', Cap. 6, pág. 135</ref>
ou
<math>\mathcal{F}\{e^{at}f(t)\}=F(\omega+ia)</math>
'''Demostração'''
<math>\mathcal{F}\{e^{at}f(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{at}e^{-i\omega t}dt</math>
<math>=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{(a-i\omega)t}dt</math>
<math>=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i(ia+\omega)t}dt</math>
<math>=F(\omega+ia)</math>
==== Modulação por Cosseno ====
<math>\mathcal{F} \left\{ f(t) \; \cos(bt) \right\} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} F(\omega - b) \;+\; F(\omega + b) \right] \qquad b \in \mathbb{C}</math><ref name=":0">BRACEWELL, R. - ''op. cit.'', Cap. 6, pág. 113</ref>
===== Demonstração =====
<math>\mathcal{F} \left\{ f(t) \; \cos(bt) \right\} \; = \mathcal{F} \bigg\{ f(t) \bigg(\frac{e^{ibt} + e^{-ibt}}2\bigg)\bigg\}
</math>
Aplicando a transformada, tem-se
<math>= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \bigg( \frac{e^{ibt} + e^{-ibt}}2\bigg) e^{-i{\omega}t} dt
</math>
<math>= \frac{1}2 \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(\omega - b)t} dt + \frac{1}2 \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(\omega + b)t} dt
</math>
Sabendo a definição de Transformada de Fourier chegamos a conclusão que:
<math> = \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} F(\omega - b) \;+\; F(\omega + b) \right] \qquad b \in \mathbb{C}
</math>
===== Exemplo: diagramas de magnitude =====
Usando como exemplo uma modulação em que temos o "b" como 400, temos:
[[Ficheiro:GraficoDiagramaMagnitude.png|nenhum|miniaturadaimagem|405x405px|Diagrama de Magnitude de g(t). Sendo g(t) = f(t)cos(400t)]]
==== Modulação por Seno ====
<math>\mathcal{F} \left\{ f(t) \; \sen(bt) \right\} \;=\; \frac{1}{2i} \left[ \frac{}{} F(\omega - b) \;-\; F(\omega + b) \right] \qquad b \in \mathbb{C}</math><ref name=":0" />
===== Demonstração =====
<math>\mathcal{F} \left\{ f(t) \; \sen(bt) \right\} \; = \mathcal{F} \bigg\{ f(t) \bigg(\frac{e^{ibt} - e^{-ibt}}{2i}\bigg)\bigg\}
</math>
Aplicando a transformada, tem-se:
<math>= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \bigg(\frac{e^{ibt} - e^{-ibt}}{2i}\bigg) e^{-i{\omega}t} dt
</math>
<math>= \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(\omega - b)t} dt - \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(\omega + b)t}dt
</math>
Sabendo a definição de Transformada de Fourier chegamos a conclusão que:
<math> =\; \frac{1}{2i} \left[ \frac{}{} F(\omega - b) \;-\; F(\omega + b) \right] \qquad b \in \mathbb{C}
</math>
==== Transformada da derivada ====
<math>\mathcal{F} \left\{ \frac{d}{dt} \; f(t) \right\} \;=\; i \omega \cdot \mathcal{F} \{ f(t) \} </math><ref>BRACEWELL, R. - ''op. cit.'', Cap. 6, pág. 124</ref>
Essa propriedade é também conhecida como '''propriedade operacional'''. Uma expressão mais geral é
<math>\mathcal{F} \left\{ \frac{d ^ q}{dt ^q} \; f(t) \right\} \;=\; (i \omega \;) ^q \cdot \mathcal{F} \{ f(t) \} \qquad q \in \mathbf{R}</math>
onde <math>\frac{d ^ q}{dt ^q}</math> indica uma [[derivada fracionária]].<ref>BRACEWELL, R. - ''op. cit.'', Cap. 8, pág. 163</ref>
===== Demonstração =====
Para a demostração, podemos utilizar o conhecimento da [[Transformada Inversa de Fourier]].
Sabendo que para uma função f(t), podemos representa-la por:
<math>f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) e^{i\omega t}dw</math>
Portanto, aplicando a '''derivada em t''', temos:
<math>f'(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) {d{e^{i\omega t}}\over{dt}} dw </math>
O que resulta em:
<math>f'(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) \omega i e^{i\omega t} dw </math>
Que ajeitado de forma a evidenciar a propriedade fica:
<math>f'(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} [i\omega F(\omega) ] e^{i\omega t} dw </math>
E sabendo novamente a definição da [[Transformada Inversa de Fourier]], podemos notar que de fato o que temos é:
<math>\mathcal{F} \left\{ f'(t) \right\} \;=\; i \omega \cdot \mathcal{F} \{ f(t) \} </math>
==== Transformada da Integral<ref name=":2" /> ====
<math>\mathcal F \{ \int_{-\infty}^{t} f(\tau)d\tau \} = \frac{1}{iw}F(w)</math>.
==== Convolução ====
(ver artigo principal [[Teorema da convolução]])
<math>\mathcal{F} \left\{ f(t) * g(t) \right\} \;=\; \mathcal{F} \{ f(t) \} \cdot \mathcal{F} \{ g(t) \}</math>
<math>\frac{d}{dt} \left[ f(t) * g(t) \right] \;=\; \mathcal{F} \{ f(t) \} \cdot \frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \{ g(t) \} \;=\; \mathcal{F} \{ g(t) \} \cdot \frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \{ f(t) \}</math>
onde o asterisco denota a operação de convolução.<ref>BRACEWELL, R. - ''op. cit.'', Cap. 6, pág. 115</ref>
==== Teorema da autocorrelação ====
==== Derivada da transformada ====
<math>\frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \left\{ \; f(t) \right\} \;=\; - \; i \; \mathcal{F} \left\{ t \cdot f(t) \right\}</math><ref name="Bracewell135">BRACEWELL, R. - ''op. cit.'', Cap. 6, pág. 135</ref>
==== Momento de ordem ''n'' ====
<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i(-\omega) \tau}\,d\tau=F(-w)
</math>
'''Conjugação'''
Dada uma função real f(t) e sua transformada de Fourier F(ω), então
<math>\overline{F(\omega)}=F(-\omega)</math>
'''Demostração:'''
<math>\overline{F(\omega)}=\overline{\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}}dt</math>
<math>=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\overline{e^{-i\omega t}}</math>, pois <math>\overline{f(t)}=f(t)</math>
<math>=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt</math>
<math>=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i(-\omega) t}dt</math>
<math>=F(-\omega)</math>
== Transformada discreta de Fourier ==
Em suma, nesse caso, a transformada consegue reconhecer as frequências que são dominantes na música e apresenta apenas as principais notas que compõe o harmônico daquele momento. Os limites da análise, que estão variando ao infinito, na transformada são reduzidos para os limites em que a frequência pode ser ouvida pelo ouvido humano, assim, o que resta são as principais frequências (harmônicos). A nova função tem vantagens pois será reproduzido apenas o que realmente é necessário no áudio.
Outro exemplo de aplicação são os microfones, ao reproduzir-se um áudio em um microfone que está me um local com muito ruído externo o som reproduzido se´raserá o mais limpo possível justamente porque, com a transformada de Fourier é possível fazer isso.<ref>{{citar livro|título=Transformada Discreta de Fourier: Motivação e Aplicações.|ultimo=Takahashi|primeiro=Ricardo H. C.|editora=|ano=2002|local=Belo Horizonte|páginas=|acessodata=}}</ref><ref>{{citar web|url=http://gizmodo.uol.com.br/transformada-fourier-usos/|titulo=A música digital não existiria sem a transformada de Fourier|data=25/05/2015|acessodata=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>
== Notas ==
<references group="nota"/>
==Ver também==
*[[Transformada de Laplace]]
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