Paralelismo: diferenças entre revisões
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Em [[geometria]], '''paralelismo''' é uma noção que indica se dois objetos ([[reta]]s ou [[plano (geometria)|plano]]s) estão na ▼
▲Em [[geometria]], '''paralelismo''' é uma noção que indica se dois objetos ([[reta]]s ou [[plano (geometria)|plano]]s) estão na mesma direção.<ref>{{citar web|url=https://www.grupoescolar.com/pesquisa/paralelismo.html|titulo=Paralelismo|data=|acessodata=27 de julho de 2018|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>
==Paralelismo de duas retas no plano==▼
▲==Paralelismo de duas retas no plano euclidiano==
Sejam duas [[Reta|retas]] <math>r</math> e <math>s</math> pertencentes a um [[Plano (geometria)|plano]] <math>A</math>. Diz-se que <math>r</math> é paralela a <math>s</math> (<math>r</math>//<math>s</math>) se, e somente se, <math>r</math> e <math>s</math> são coincidentes (<math>r</math> = <math>s</math>) ou se a [[Interseção|intersecção]] de <math>r</math> e <math>s</math> é um [[conjunto vazio]], ou seja, se elas não possuem [[Ponto (matemática)|pontos]] comuns.<ref name=":0">{{citar livro|título=Fundamentos da Matemática Elementar 9: geometria plana|ultimo=Dolce|primeiro=Osvaldo|ultimo2=Pompeo|primeiro2=José Nicolau|editora=Atual|ano=2013|edicao=9|local=São Paulo|páginas=|isbn=|acessodata=}}</ref>
===Teorema das retas paralelas===
'''" Se duas retas [[Coplanaridade|coplanares]] e distintas <math>r</math> e <math>s</math>, e uma [[transversal]] <math>t</math>, determinam um par de [[Ângulo|ângulos]] alternos (ou ângulos correspondentes) [[Congruência (geometria)|congruentes]], então <math>r</math> é paralela a <math>s</math>."''' <ref name=":0" /> <ref group = "demonstração" >
Hipótese (fato, condição já definida no enunciado do teorema): <math>r</math>, <math>s</math>, <math>t</math> pertencem a um mesmo plano, supomos <math>\alpha</math>, com <math>r</math> distinta de <math>s</math> e os ângulos â e ê são congruentes (possuem a mesma [[Medida (matemática)|medida]]), sendo â e ê ângulos alternos das retas <math>r</math> e <math>s</math> interceptadas por <math>t</math>.
Tese (o que deve ser provado de acordo com o enunciado do teorema): <math>r</math> é paralela à <math>s</math> (<math>r</math> // <math>s</math>).
Sem perda de generalidade, supomos que â seja o ângulo pertencente a intersecção entre as retas <math>r</math> e <math>t</math> e que ê seja o ângulo pertencente à intersecção entre as retas <math>s</math> e <math>t</math>, onde â e ê são ângulos alternos internos.
Se r e s não fossem paralelas, então existiria um ponto P comum, r intersecção s. Considerando agora os pontos A e B, respectivamente intersecções das retas r e s com a transversal t, teríamos o triângulo ABP.▼
▲Se <math>r</math> e <math>s</math> não fossem paralelas, então existiria um ponto <math>P</math> comum à <math>r</math> e à <math>s</math>, ou seja, <math>r</math>
De acordo com o teorema do ângulo externo, que define que no triângulo, qualquer um de seus ângulos externos é maior do que cada um dos ângulos internos não [[Vizinhança (teoria dos grafos)|adjacentes]] a ele, teríamos as seguintes possibilidades:
# se o ângulo ê fosse interno ao triângulo ABP, então â seria maior que ê.
# se o ângulo â fosse interno ao triângulo ABP, então ê seria maior que â.
Por 1. e 2., segue que:
==Paralelismo de retas no espaço==▼
: â > ê ou ê > â
o que, de acordo com a hipótese â <math>\equiv</math> ê, é um absurdo.
Logo, <math>r</math> é paralela a <math>s</math> (ou <math>r</math> // <math>s</math>).
==Paralelismo de uma recta e de um plano no espaço==▼
Note que se â e ê forem ângulos alternos externos congruentes, basta utilizar seus ângulos opostos pelo [[vértice]]. Suponha que sejam, respectivamente â' e ê'. Como â <math>\equiv</math> â' e ê <math>\equiv</math> ê', então â' <math>\equiv</math> ê'. Perceba que â' e ê' são ângulos alternos internos e o teorema vale, como provado anteriormente. Assim, segue que o teorema das retas paralelas vale para ângulos alternos externos congruentes.
No espaço, dois planos são paralelos se não se intersectam, ou seja que não possuem ponto em comum ou são coincidentes(iguais).▼
Para provar o caso de ângulos correspondentes congruentes, basta utilizar novamente os ângulos opostos pelo vértice. Assim, se â e ê forem ângulos correspondentes (supomos â externo e ê interno), então representando o ângulo oposto pelo vértice de â por â', teríamos, â <math>\equiv</math> â' e â <math>\equiv</math> ê, de modo que, ê <math>\equiv</math> â'. Como ê e â' são ângulos alternos internos, segue que o teorema vale para ângulos correspondentes congruentes. </ref><ref name=":0" />
Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada.▼
O recíproco do teorema das retas paralelas, pode ser enunciado como segue:
Sejam <math>r</math> e <math>s</math> retas paralelas e distintas. Se <math>t</math> intercepta ambas, então vale que os ângulos alternos (ou correspondentes) formados pela intercecção são congruentes.<ref name=":0" />
Caso as retas estejam no [[Espaço matemático|espaço]], então para que sejam paralelas, elas devem determinar um único plano e não possuírem ponto comum.<ref>{{citar livro|título=Matemática: ciência e aplicações|ultimo=Iezzi|primeiro=Gelson|ultimo2=Dolce|primeiro2=Osvaldo|ultimo3=Degenszajn|primeiro3=David|ultimo4=Périgo|primeiro4=Roberto|ultimo5=Almeida|primeiro5=Nilze de|editora=Atual|ano=2004|edicao=2|local=São Paulo|páginas=|isbn=85-357-0426-4|acessodata=}}</ref> Assim, duas retas serão paralelas se elas possuírem mesma direção.
==Unicidade e transitividade do paralelismo de retas==
Também conhecido como postulado de Euclides ou [[postulado das paralelas]] define que:
▲"Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada." <ref name=":0" />
Agora, caso <math>r</math> e <math>s</math> forem retas paralelas, bem como as retas <math>s</math> e <math>t</math> forem paralelas, vale que <math>r</math> e <math>t</math> serão paralelas. <ref name=":1">{{citar livro|título=Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica|ultimo=Dolce|primeiro=Osvaldo|ultimo2=Pompeo|primeiro2=José Nicolau|editora=Atual|ano=2013|local=São Paulo|páginas=|acessodata=}}</ref>
No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou seja, se não possuem pontos em comum.<ref>{{citar web|url=http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/Fundamentos_de_geometria_espacial-sergio-02.pdf|titulo=Fundamentos da geometria espacial|data=2013|acessodata=|publicado=|ultimo=|primeiro=|autor=Paulo Antônio Fonseca Machado}}</ref>
Uma condição suficiente para a existência de retas e planos paralelos é a de que, definidos uma reta <math>r</math> e um plano <math>\pi</math>, com <math>r</math> não contida em <math>\pi</math>, se existir uma outra reta <math>s</math> contida no plano <math>\pi</math>, de modo que <math>r</math> e <math>s</math> sejam paralelas, então a reta <math>r</math> será paralela ao plano <math>\pi</math>.<ref name=":1" /> <ref group = "demonstração" >
Demonstração:
Seja <math>r</math> uma reta que não está contida no plano <math>\pi</math>. Ainda, por hipótese, seja <math>r</math> paralela a uma reta <math>s</math> contida em <math>\pi</math>. Logo, <math>r</math> e <math>s</math> não se interseccionam e existe um plano <math>\beta</math> que contém <math>r</math> e <math>s</math> (pela definição de retas paralelas). Por construção, <math>s</math> <math>\subset</math> <math>\beta</math> e <math>s</math> <math>\subset</math> <math>\alpha</math>, sendo <math>\beta</math> <math>\neq</math> <math>\pi</math>. Ou seja, <math>s</math> é a reta de intersecção dos planos <math>\alpha</math> e <math>\beta</math>. Supomos que <math>r</math> e <math>\pi</math> possuam um ponto <math>P</math> em comum. Portanto, segue que <math>P</math> <math>\in</math> <math>\pi</math> e <math>P</math> <math>\in</math> <math>\beta</math> (já que <math>r</math> <math>\subset</math> <math>\beta</math>). Desse modo, <math>P</math> pertence a intersecção de <math>\pi</math> e <math>\beta</math>, ou seja, <math>P</math> <math>\in</math> <math>s</math>. Logo, <math>P</math> <math>\in</math> <math>r</math> e <math>P</math> <math>\in</math> <math>s</math>, o que é um absurdo, pois, por hipótese, <math>r</math> e <math>s</math> são paralelas e não possuem pontos em comum. Assim, concluímos que <math>r</math> e <math>\pi</math> não possuem pontos em comum, e portanto, <math>r</math> é paralela à <math>\pi</math>. </ref> <ref name=":1" />
Porém, caso a reta <math>r</math> e o plano <math>\pi</math> forem paralelos, então necessariamente a reta <math>r</math> será paralela a uma reta do plano <math>\pi.</math><ref name=":1" /> <ref group = "demonstração" >
Demonstração:
Por hipótese, a reta <math>r</math> e o plano <math>\pi</math> são paralelos. Logo, eles não se interceptam. Construindo um plano <math>\alpha</math> que contenha a reta <math>r</math> e intercepte <math>\pi
</math>, obtém-se uma reta <math>s</math>, resultante da intersecção dos planos <math>\pi
</math> e <math>\alpha</math>. Note que as retas <math>r</math> e <math>s</math> pertencem ao plano <math>\alpha</math>, porém não possuem pontos em comum. Assim, segue pela definição de retas paralelas, que <math>r</math> é paralela a <math>s</math>, ou seja, <math>r</math> é paralela a uma reta do plano <math>\pi</math>. </ref> <ref name=":1" />
No espaço, há duas possibilidades para que dois planos sejam paralelos:
▲
#se são coincidentes (iguais). <ref name=":1" />
Desse modo, para determinar dois planos distintos e paralelos, é suficiente que a partir de duas retas concorrentes de um dos planos, definamos o outro plano, paralelo à ambas as retas concorrentes do plano inicial,<ref name=":1" /> ou seja, para que dois planos distintos <math>\alpha</math> e <math>\pi</math> sejam paralelos, deve-se ter ou <math>\alpha</math> ou <math>\pi</math> com duas [[retas concorrentes]] que sejam paralelas ao outro plano.<ref name=":4">{{citar livro|título=Matemática: contexto e aplicações|ultimo=Dante|primeiro=Luiz Roberto|editora=Ática|ano=2010|volume=2|local=São Paulo|páginas=|acessodata=}}</ref>
Sendo assim, se dois planos <math>\alpha</math> e <math>\pi</math> são paralelos e distintos, todas as retas do plano <math>\alpha</math> são paralelas ao plano <math>\pi</math>, assim como todas as retas do plano <math>\pi</math> são paralelas ao plano <math>\alpha</math>. Ainda, cada uma das retas de <math>\pi</math> é paralela a pelo menos uma reta de <math>\alpha</math> e vice-versa.<ref name=":4" />
==Demonstrações==
<references group="demonstração"/>
=={{Ver também}}==
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[[Categoria:Geometria]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]
<references />ia:Geometria]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]
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