Vibração flexional: diferenças entre revisões
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Vibrações livres transversais |
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Linha 51:
<math>\frac{1}{(ai)^\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a}}e^{i\frac{1}{4}\pi},</math>
trocamos ''a'' por ''ai'' para obter
<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty (\cos(ak^2t) - i\sen(ak^2t)) e^{itk} \, dk = \frac{1}{2\sqrt{a\pi}}
e^{(\frac{x^2}{4a}-\frac{\pi}{4})}.</math
Tomando as partes real e imaginária nesta equação obtemos que
<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \cos(ak^2t) e^{itk} \, dk =
\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{a\pi}}\biggl(\cos\left ( \frac{x^2}{4a}\biggr)+
\sen\left ( \frac{x^2}{4a} \right )\right )</math>
e
<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \sen(ak^2t) e^{itk} \, dk =
\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{a\pi}}\biggl(\cos\left ( \frac{x^2}{4a}\biggr)-
\sen\left ( \frac{x^2}{4a} \right )\right ).</math>
Usando o resultado sobre convoluções das propriedades de Fourier, obtemos que:<br /><math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(k) \cos(ak^2t) e^{-itk} \, dk = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{at\pi}}
\int_{-\infty}^\infty f(x-y)\left [ cos\left ( \frac{y^2}{4at} \right ) + \sen\left ( \frac{y^2}{4at} \right ) \right ]dy</math>
e
<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(k) \sen(ak^2t) e^{-itk} \, dk = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{at\pi}}
\int_{-\infty}^\infty g(x-y)\left [ cos\left ( \frac{y^2}{4at} \right ) - \sen\left ( \frac{y^2}{4at} \right ) \right ]dy</math>
ou seja,
<math>y(x,t) = \frac{{1}}{2\sqrt{at\pi}}
\int_{-\infty}^\infty f(x-y)\left ( cos\left ( \frac{y^2}{4at} \right ) + \sen\left ( \frac{y^2}{4at} \right ) \right )dy
-\frac{{1}}{2\sqrt{at\pi}}
\int_{-\infty}^\infty g(x-y)\left ( cos\left ( \frac{y^2}{4at} \right ) - \sen\left ( \frac{y^2}{4at} \right ) \right )dy .</math><ref>{{citar livro|título=Análise de Fourier|ultimo=AZEVEDO, SAUTHER|primeiro=Fábio, Esequia|editora=|ano=2015|local=Porto Alegre|páginas=|acessodata=}}</ref>
{{referências}}
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