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Transformação linear: diferenças entre revisões

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Em [[Matemática]], uma '''transformação linear''' é um tipo particular de [[função (matemática)|função]] entre dois [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de '''aplicação linear''' ou '''mapa linear'''. No caso em que o [[Domínio (matemática)|domínio]] e [[contradomínio]] coincidem, é usada a expressão '''operador linear'''. Na linguagem da [[álgebra abstrata]], uma transformação linear é um [[homomorfismo]] de espaços vetoriais.▼
{{mais-fontes|ciência=sim|data=Dezembro de 2011}}
{{não confundir com|Função afim|Função polinomial de primeiro grau}}
[[Imagem:Reflection of a triangle about the y axis.svg|thumb|250px|A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.]]
▲Em [[Matemática]], uma '''transformação linear''' é um tipo particular de [[função (matemática)|função]] entre dois [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de '''aplicação linear''' ou '''mapa linear'''. No caso em que o [[Domínio (matemática)|domínio]] e [[contradomínio]] coincidem, é usada a expressão '''operador linear'''. Na linguagem da [[álgebra abstrata]], uma transformação linear é um [[homomorfismo]] de espaços vetoriais.
 
== Definição e consequências imediatas ==
<blockquote>Sejam <math>V</math> e <math>W</math> [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] sobre o mesmo [[corpo (matemática)|corpo]] <math>K.</math>
 
Diz-se que uma [[função (matemática)|função]] <math>T:V\rightarrow{W}</math> é uma ''transformação linear'' se, para quaisquer <math>u,v\in{V}</math> e <math>\alpha\in{K},</math>valem as relações:<ref>{{citar livro|título=Álgebra Linear|ultimo=Lima|primeiro=Elon Lages|editora=IMPA|ano=2016|edicao=9ª|series=Coleção matemática universitária|local=Rio de Janeiro|páginas=357 p.|isbn=9788524404207}}</ref>
 
* <math>T(v+u)=T(v)+T(u);</math>▼
* <math>T(\alpha v+u)=\alpha T(v).+T(u);</math>
▲* <math>T(\alpha v+u)=\alpha T(v)+T(u);.</math>
 
=== DefiniçãoExemplos ===▼
 
=== Exemplos <ref>{{citar web|url=https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s3-transformax00e7x00f5es_lineares.html|titulo=Transformações lineares e exemplos|data=|acessodata=20 de julho de 2018|obra=REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática|publicado=Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul|ultimo=|primeiro=}}</ref>===
* a função <math>T</math> de <math>K</math> em <math>K</math> definida por <math>T(x)=3x;</math>
* a função <math>T</math> de <math>K^2</math> em <math>K</math> definida por <math>T(x,y)=x+y;</math>
* a função <math>T</math> de <math>K^2</math> em <math>K^2</math> definida por <math>T(x,y)=(3x+y,2x-2y);</math>
* se <math>D</math> for o espaço das [[Derivada|funções deriváveis]] de <math>\mathbb{R}</math> em '''<math>\mathbb{R}</math>''' e se <math>F</math> for o espaço de todas as funções de '''<math>\mathbb{R}</math>''' em '''<math>\mathbb{R}</math>''', então a derivação (isto é, a função de <math>D</math> em <math>C</math> que envia cada função na sua derivada) é linear.
 
Em contrapartida, se <math>a\in K-\{0\}</math> então a função <math>T</math> de <math>K</math> em <math>K</math> definida por <math>T(x)=x+a</math> não é uma transformação linear.
 
Se <math>T</math> for uma função de um espaço vetorial <math>V</math> num espaço vetorial <math>W,</math> então afirmar que <math>T</math> é linear equivale a afirmar que <math>T</math> preserva [[combinação linear|combinações lineares]] de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores <math>v_1,v_2</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>V</math> e dois escalares <math>\alpha_1,\alpha_2</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>K:</math>
 
<math display="block">T(\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)</math>
 
Para qualquer aplicação linear <math>T</math> de <math>V</math> em <math>W</math> tem-se:
 
* <math>T(0)=0,</math> pois <math>T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.</math>
* se <math>v</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>V,</math> então <math>T(-v)=-T(v),</math> pois <math>T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.</math>
</blockquote>
 
== Função linear ==
<blockquote>'''Função linear''' é a [[função (matemática)|função matemática]] que possui duas propriedades:▼
[[Imagem:Linear function.svg|thumb|Uma função linear]]
 
▲'''Função linear''' é a [[função (matemática)|função matemática]] que possui duas propriedades:
* Aditividade:
<math display="block">f(x+x') = f(x) + f(x');</math>
 
* Homogeneidade:
<math display="block">f(ax) = a f(x).</math>
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<math> f(ax+bx') = a*f(x)+b*f(x') </math>
 
As funções lineares são funções cujo [[gráfico de uma função|gráfico]] é uma [[recta]] '''que atravessa a origem do plano cartesiano''', isto é, '''em que b=0'''.</blockquote>
 
== Definição ==
<blockquote>Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma <math>y= a x,</math> em que <math>a</math> é um [[número real]].▼
 
* <math>y</math> é a variável dependente e <math>x</math> a variável independente;▼
* <math>a</math> é o coeficiente angular▼
 
'''Nota''': geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma <math>y = mx + b</math> uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando <math>b</math> é diferente de zero, passa-se a chamar de [[função afim]].▼
▲=== Definição ===
▲Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma <math>y= a x,</math> em que <math>a</math> é um [[número real]].
▲* <math>y</math> é a variável dependente e <math>x</math> a variável independente;
▲* <math>a</math> é o coeficiente angular
 
A definição mais geral de '''função linear''' é feita no contexto da [[álgebra linear]], e depende do conceito de [[espaço vetorial]].▼
▲'''Nota''': geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma <math>y = mx + b</math> uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando <math>b</math> é diferente de zero, passa-se a chamar de [[função afim]].
{{ver artigo principal|[[Aplicação linear]]}}
▲A definição mais geral de '''função linear''' é feita no contexto da [[álgebra linear]], e depende do conceito de [[espaço vetorial]].
 
Sejam <math>(V, F, \oplus_V, \otimes_V, +, \times) \mbox{ e } (W, F, \oplus_W, \otimes_W, +, \times)</math> espaços vetoriais. Uma função <math>f: V \rightarrow W</math> é uma '''função linear''' se ela satisfaz os seguintes axiomas:
 
* <math>\forall x, y \in V \ (f(x \oplus_V y) = f(x) \oplus_W f(y))</math>
* <math>\forall a \in F \ \forall v \in V \ (f(a \otimes_V v) = a \otimes_W f(v))</math>
 
Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:
 
* <math>\forall x, y \in V \ (f(x + y) = f(x) + f(y))</math>
* <math>\forall a \in F \ \forall v \in V \ (f(a \ v) = a \ f(v))</math>
</blockquote>
 
== Núcleo ==
<blockquote>O ''núcleo'' de uma transformação linear <math>T</math> de <math>V</math> em <math>W,</math> denotado por <math>\ker(T),</math> é o [[conjunto]] <math>\{v\in V\,|\,T(v)=0\},</math> em que <math>0</math> é o vetor nulo de <math>W.</math>
 
Exemplo: O núcleo da função <math>T</math> de <math>K^3</math> em <math>K^3</math> definida por <math>T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)</math> é:
<math display="block">\ker(T)=\left\{(x,y,z)\,|\,x=z/2=-y/4 \right\}</math>
 
O conjunto <math>\ker(T)</math> é um [[subespaço vetorial]] de V, pois se <math>v_1,v_2</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>\ker(T)</math> e se <math>\alpha_1,\alpha_2</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>K,</math> então <math>T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)=0,</math> ou seja, <math>\alpha_1v_1+\alpha_2v_2</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>\ker(T).</math>
 
Se uma aplicação linear <math>T</math> de <math>V</math> em <math>W</math> for [[função injectiva|injectiva]], então <math>\ker(T)=\{0\},</math> pois <math>T(0)=0</math> e, portanto, pela injectividade de <math>T,</math> o único vector <math>v</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>V</math> tal que <math>T(v)=0</math> é <math>0.</math> Reciprocamente, se <math>\ker(T)=\{0\},</math> então <math>T</math> é injectiva, pois, dados <math>v,w</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>V:</math>
<math display="block">T(v)=T(w)\Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0\Longleftrightarrow T(v-w)=0\Longleftrightarrow v-w\in\ker(T)\Rightarrow v-w=0\Longleftrightarrow v=w</math>
 
== Imagem ==
</blockquote><blockquote>Sejam <math>V</math> e <math>W</math> espaços vetoriais sobre um corpo <math>K.</math> A imagem de uma transformação linear <math>T</math> de <math>V</math> em <math>W</math> é o conjunto:
<math display="block">\operatorname{Im}(T)=\{f(v)\,|\,v\in V\}</math>
 
Sejam <math>w_1,w_2</math> dois elementos da imagem de <math>T</math> e sejam <math>\alpha_1,\alpha_2\in K.</math> Então, como <math>w_1,w_2</math> estão na imagem de <math>T,</math> há vectores <math>v_1,v_2\in V</math> tais que <math>w_1=T(v_1)</math> e que <math>w_2=T(v_2),</math> pelo que:
<math display="block">\alpha_1w_1+\alpha_2w_2=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)=T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)\in\mathop{\mathrm{Im}}(T)</math>
Logo, <math>\operatorname{Im}(T)</math> é um subespaço vetorial de <math>W.</math></blockquote>
 
== Dimensão da imagem e do núcleo ==
<blockquote>Sejam <math>V</math> e <math>W</math> espaços vetoriais sobre um corpo <math>K,</math> sendo <math>V</math> de [[base (álgebra linear)#Cardinalidade e dimensão|dimensão]] finita, e seja <math>T</math> uma transformação linear de <math>V</math> em <math>W.</math> Então
<math display="block">\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T)).</math>
Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja <math>n=\dim(\ker(T))</math> e seja <math>\{v_1,v_2,</math> …<math>,v_n\}</math> uma [[base (álgebra linear)|base]] de <math>\ker(T).</math> Como <math>\ker(T)</math> é um subespaço de <math>V,</math> pode-se completar essa base até obtermos uma base de <math>V.</math> Sejam então <math>w_1,w_2,</math> &nbsp;…&nbsp;<math>,w_m</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>V</math> tais que <math>\{v_1,v_2,</math> …<math>,v_n,w_1,w_2,</math> …<math>,w_m\}</math> seja uma base de <math>V;</math> em particular, <math>\dim(V)=n+m.</math> Vai-se provar que <math>\{T(w_1),</math> …<math>,T(w_m)\}</math> é uma base de Im<math>(T),</math> de onde resultará que
<math display="block">\dim(\operatorname{Im}(T))=m=(m+n)-n=\dim(V)-\dim(\ker(T)).</math>
Se <math>w</math>&nbsp;∈&nbsp;Im<math>(T),</math> então <math>w=T(v)</math> para algum <math>v</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>V</math> e <math>v</math> pode ser escrito sob a forma
Linha 87 ⟶ 90:
pelo que
<math display="block">T(v)=\beta_1T(w_1)+\cdots+\beta_mT(w_m),</math>
visto que <math>v_1,v_2,\ldots,v_n</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>\ker(T).</math> Isto prova que <math>\{T(w_1),\ldots,T(w_m)\}</math> gera <math>\operatorname{Im}(T).</math> Por outro lado, os vetores <math>T(w_1),T(w_2),\ldots,T(w_m)</math> são [[independência linear|linearmente independentes]], pois se <math>\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>K</math> forem tais que
<math display="block">\alpha_1T(w_1)+\alpha_2T(w_2)+\cdots+\alpha_mT(w_m)=0,</math>
então
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de onde resulta que <math>\alpha_1w_1+\alpha_2w_2 + \ldots + \alpha_mw_m</math> é uma combinação linear dos vetores <math>v_1,v_2,\ldots,v_n,</math> o que é só é possível se <math>\alpha_1=\alpha_2=\ldots =\alpha_m=0,</math> pois o conjunto <math>\{v_1,v_2,\ldots,v_n,w_1,w_2,\ldots,w_m\}</math> é uma base e, portanto, linearmente independente.
 
Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do [[axioma da escolha]].</blockquote>
 
== Tipos especiais ==
<blockquote>Denomina-se ''isomorfismo'' uma transformação linear que seja bijetiva.
 
Denomina-se ''endomorfismo'' ou ''operador linear'' uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.
 
Se <math>T</math> for um endomorfismo de um espaço vetorial <math>V</math> de dimensão finita, então são condições<ref>{{citar web|url=https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s3-transformax00e7x00f5es_injetoras_sobrejetoras_e_invertx00edveis.html|titulo=Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis|data=|acessodata=20 de julho de 2018|obra=REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática e Estatística|publicado=Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul|ultimo=|primeiro=}}</ref> equivalentes:
 
# <math>T</math> é injetivo;▼
# <math>T</math> é sobrejetivoinjetivo;
# <math>T</math> é bijetivo.sobrejetivo;
▲# <math>T</math> é injetivo;bijetivo.
 
É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se <math>T</math> for sobrejetivo, então
<math display="block">\dim(V)=\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V)-\dim(\ker(T)),</math>
pelo que <math>\dim(\ker(T))=0</math> e, portanto, <math>\ker(T)=\{0\},</math> pelo que <math>T</math> é injetivo. Por outro lado, se <math>T</math> for injetivo, então
<math display="block">0=\dim(\ker(T))=\dim(V)-\dim(\operatorname{Im}(T)),</math>
pelo que <math>\dim(V)=\dim(\operatorname{Im}(T))</math> e, portanto, <math>V=\operatorname{Im}(T),</math> ou seja, <math>T</math> é sobrejetivo.</blockquote>
 
== Exemplos de matrizes de transformações lineares ==
<blockquote>Alguns casos especiais de transformações lineares<ref>{{citar web|url=https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s3-matriz_de_uma_transformax00e7x00e3o_linear.html|titulo=Matriz de uma transformação linear|data=|acessodata=20 de julho de 2018|obra=REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática|publicado=Instituto de Matemática e Estatística da Universidade do Rio Grande do Sul|ultimo=|primeiro=}}</ref> do espaço '''R'''<sup>2</sup> são bastante elucidativas:
 
* [[Rotação (matemática)|rotação]] de 90 graus no sentido anti-horário: <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}</math>▼
* [[Rotação (matemática)|rotação]] porde <math>\theta</math>90 graus no sentido anti-horário: <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}\cos(\theta)0 & -\mathrm{sen}\,(\theta)1\\ \mathrm{sen}\,(\theta)1 & \cos(\theta)0\end{bmatrix}</math>
* [[Reflexãorotação (matemática)|reflexão]]por em<math>\theta</math> tornograus dono eixosentido ''x''anti-horário: <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1\cos(\theta) & 0-\mathrm{sen}\,(\theta)\\ 0\mathrm{sen}\,(\theta) & -1\cos(\theta)\end{bmatrix}</math>
* [[Reflexão (matemática)|reflexão]] em torno do eixo ''yx'': <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}</math>
▲* [[Rotaçãoreflexão (matemática)|rotação]]em detorno 90do grauseixo no sentido anti-horário''y'': <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}0-1 & -10\\ 10 & 01\end{bmatrix}</math>
* projeção sobre o eixo ''y'': <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}.</math>
</blockquote>
 
== Espaço das transformações lineares ==
<blockquote>Sejam <math>V</math> e <math>W</math> espaços vetoriais sobre o corpo <math>K.</math> Seja <math>L(V,W)</math> definido como o conjunto de todas transformações lineares de <math>V</math> em <math>W.</math> Como funções, para quaisquer operadores <math>T</math> e <math>U</math> e qualquer escalar <math>a,</math> podemos definir <math>T + U</math> e <math>aT</math> por:
<math display="block">(T + U)(v) = T(v) + U(v)</math><math display="block">(a T)(v) = a T(v)</math>
<math display="block">(a T)(v) = a T(v)</math>
 
É imediato provar que <math>T + U</math> e <math>aT</math> também são transformações lineares de <math>V</math> em <math>W,</math> e que <math>L(V,W)</math> com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre <math>K.</math>
Linha 130 ⟶ 136:
Um caso particular importante é o espaço <math>L(V,V),</math> das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).
 
Como a [[composição de funções|composição]] de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.
 
Assim, dado um operador linear <math>T,</math> podem-se definir as potências <math>T^2, T^3,</math> ou, de modo geral, <math>T^n ,\forall n\in\mathbb{Z^+}.</math> Portanto, se <math>p(x)</math> é um [[polinómio|polinômio]] com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir <math>p(T)
:</math>
<math display="block">p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n \implies p(T) = a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_n T^n,</math>
Linha 138 ⟶ 144:
 
Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:
 
* Se ''<math>p(x)</math>'' e <math>q(x)</math> são polinômios, então <math>p(T) + q(T) = (p + q)(T)</math> e <math>p(T) q(T) = (pq)(T).</math>
 
Se o espaço <math>V</math> tem dimensão finita <math>n,</math> então <math>L(V,V)</math> também tem dimensão finita <math>n^2.</math> Portanto, o conjunto de ''<math>n^2+1</math>'' operadores <math>\{I_V, T, \ldots, T^{n^2} \}</math> é [[linearmente dependente]]. Logo, existem escalares <math>a_0, a_1, \ldots a_{n^2},</math> não todos nulos, tais que <math>a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_{n^2} T^{n^2} = 0.</math> Ou seja, existe um polinômio não-nulo ''<math>p(x)</math>'' tal que ''<math>p(T)=0</math>''.
 
Se existe um polinômio não-nulo ''<math>f(x)</math>'' tal que ''<math>f(T)=0</math>'', então o conjunto não-vazio dos polinômio ''<math>q(x)</math>'' tais que ''<math>q(T)=0</math>'' forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico ''<math>p(x)</math>'' tal que ''<math>p(T)=0</math>''. Este polinômio é chamado de [[polinómio mínimo|polinômio mínimo]] de <math>T.</math> </blockquote>
 
== Espaço dual ==
<blockquote>Seja <math>V</math> um espaço vetorial sobre um corpo <math>K.</math> O espaço dual de <math>V,</math> representado por <math>V^*,</math> é o espaço vetorial <math>L(V,K)</math> das transformações lineares de <math>V</math> em <math>K.</mathblockquote>▼
{{Artigo principal|Espaço dual}}
▲Seja <math>V</math> um espaço vetorial sobre um corpo <math>K.</math> O espaço dual de <math>V,</math> representado por <math>V^*,</math> é o espaço vetorial <math>L(V,K)</math> das transformações lineares de <math>V</math> em <math>K.</math>
 
{{Referências}}
 
== Ver também ==
* [[Função linear]]
* [[Função afim]]
* [[Função polinomial de primeiro grau]]
 
{{Álgebra linear}}
{{Portal3|Matemática}}
 
[[Categoria:Álgebra linear]]
[[Categoria:Polinómios]]
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