Paralelogramo: diferenças entre revisões

* quatro ângulos internos - os ângulos <math>B\hat{A}D</math>, <math>A\hat{B}C</math>, <math>B\hat{C}D</math>, <math>C\hat{D}A</math>;

* quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;

 

== Propriedades ==

Mostraremos que todo quadrilátero <math>ABCD</math> convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos <math>B\hat{A}D \equiv B\hat{C}D</math> e <math>A\hat{D}C\equiv A\hat{B}C</math>, logo <math>B\hat{A}D + A\hat{D}C = A\hat{B}C + B\hat{C}D</math>. Como <math>B\hat{A}D + A\hat{D}C + A\hat{B}C + B\hat{C}D = 360^\circ</math>, segue que <math>B\hat{A}D + A\hat{D}C = 180^\circ</math>. Portanto, <math>\overline{AB}\parallel \overline{CD}</math>. Um raciocínio análogo prova que <math>\overline{AD}\parallel \overline{BC}</math>. Isso completa a prova.

 

[[Ficheiro:Diagonais se intersectam no ponto médio.png|alt=Figura para a demonstração da propriedade do paralelogramo.|thumb|Diagonais se intersectam no ponto médio.]]

Seja <math>ABCD</math> um paralelogramo e consideremos suas diagonais <math>\overline{AC}</math> e <math>\overline{BD}</math>. Denotamos por <math>E</math> a interseção destas diagonais. Como <math>\overleftrightarrow{AB}</math> e <math>\overleftrightarrow{CD}</math> são paralelas, temos que os ângulos <math>C\hat{D}E</math> e <math>A\hat{B}E</math> são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos <math>B\hat{A}E</math> e <math>D\hat{C}E</math>. Como <math>\overline{AB}</math> e <math>\overline{CD}</math> são congruentes, pela [[Congruência triangular|congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos]], temos que: