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== Derivações e fórmula ==
[[Image:Snells law wavefronts.gif|right|frame|[[Frente de onda]] de um ponto de origem no contexto da Lei de Snell. A região abaixo da linha cinza possui um [[Refração|índice de refração]] maior, e proporcionalmente menor [[velocidade da luz]], do que a região acima dela.]]
A Lei de Snell pode ser derivada pelo [[princípio de Fermat]],<ref>Rev. Bras. Ensino Fís. vol.29 no.2 São Paulo 2007, Lei de Snell generalizada, [http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1806-11172007000200006&script=sci_arttext]</ref> que diz que a luz viaja pelo caminho que leva o menor tempo. Ao tomar a [[derivada]] do comprimento do caminho óptico, o [[Ponto crítico (funções)| ponto estacionário]] é encontrado, dando o caminho tomado pela luz (Embora deva-se ter em mente que o resultado não mostra a luz utilizando o caminho de menor tempo, mas sim o caminho que é estacionário para pequenas variações, de modo que há casos onde a luz na verdade toma o caminho que leva o maior tempo, como em um espelho esférico). Em uma analogia clássica, o meio de menor [[Refração|índice de refração]] pode ser visto como uma praia, e o de maior índice de refração como o oceano, e o modo mais rápido de um salva-vidas na praia chegar até uma pessoa no oceano é percorrendo o caminho que segue a Lei de Snell.
O principio de Fermat: "De todos os caminhos que a luz pode ir de um ponto ao outro, a luz segue aquele que é percorrido no tempo mínimo."
Ao apresentar o fenômeno analiticamente, em um plano cartesiano:
Seja um meio de propagação com índice de refração <math>n_1\ </math> e um segundo meio de propagação com índice de refração <math>n_2\ </math> tais que situamos a superfície que separa os dois meios de modo que coincida com o eixo das abcissas.
Sejam <math> A = (x_A ,\; y_A ) </math> e <math> B = (x_B ,\; y_B ) </math> dois pontos fixos situados do plano, de modo que A está situado no primeiro meio, e B no segundo meio.
Seja um raio de luz que se propaga de '''A''' a '''B''' atravessando a superfície que separa os dois meios no ponto <math> P = (x,\; 0 ) </math>.
O seguinte passo é deduzir o tempo que demora o raio para percorrer <math> \overline{AP} </math> e <math> \overline{PB} </math>.
Sejam <math> v_1 </math> e <math> v_2 </math> as velocidades de propagação da luz no primeiro e segundo meio respectivamente.
<math> t_1 = \frac{\overline{AP}}{v_1} = \frac{\sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}}{v_1} </math>; <math> t_2 = \frac{\overline{PB}}{v_2} = \frac{\sqrt{(x - x_B)^2\ + {y_B}^2}}{v_2}</math>
<math> t = \frac{\sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(x - x_B)^2\ + {y_B}^2}}{v_2}</math>
Se buscarmos o valor de <math>x\ </math> quando <math>t\ </math> é mínimo, é equivalente ao encontramos o valor de <math>x\ </math> para o qual a função derivada de <math>t\ </math> assume valor 0.
[[Ficheiro:Snell by fermat.jpg|miniaturadaimagem|O raio de luz se propaga de A a B passando por P, que é um ponto móvel sobre o eixo das abcissas]]
<math> \frac{dt}{dx} = - \frac{x_A\ - x}{v_1\ \sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}} + \frac{x - x_B\ }{v_2\ \sqrt{(x - x_B\ )^2\ + {y_B}^2}} = 0 </math>
<math> \frac{x_A\ - x}{v_1\ \sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}} = \frac{x_B - x\ }{v_2\ \sqrt{(x - x_B\ )^2\ + {y_B}^2}} </math>
<math> \frac{x_A\ - x}{v_1\ \overline{AP}} = \frac{x_B - x\ }{v_2\ \overline{PB}} </math>
<math> \frac{1}{v_1\ } \sin{\alpha_1} = \frac{1}{v_2\ } \sin{\alpha_2} </math>
<math> \frac{c}{v_1\ } \sin{\alpha_1} = \frac{c}{v_2\ } \sin{\alpha_2} </math>
<math>n_1\ \sin{\alpha_1} = n_2\ \sin{\alpha_2} </math> <ref>Ariel Lipson, Stephen G. Lipson, Henry Lipson, ''Optical Physics 4th Edition'', Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49345-1</ref>
Em uma analogia clássica, o meio de menor [[Refração|índice de refração]] pode ser visto como uma praia, e o de maior índice de refração como o oceano, e o modo mais rápido de um salva-vidas na praia chegar até uma pessoa no oceano é percorrendo o caminho que segue a Lei de Snell.
Alternativamente, a Lei de Snell pode ser derivada utilizando a [[interferência]] de todos os caminhos possíveis da onda de luz da fonte até o observador—que resultam em interferência destrutiva em todos os pontos exceto no extremo da fase (onde a interferência será construtiva}— os quais tornam-se caminhos.
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