Quadrilátero: diferenças entre revisões
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{{Wikificação|ciência=sim|data=maio de 2015}}
Em [[Geometria euclidiana|geometria plana euclidiana]], '''quadrilátero''' é um [[polígono simples]] de quatro lados.<ref>[[Frank Ayres]], Robert E. Moyer. ''Teoria E Prob. de Trigonometria'' {{pt}} Bookman, 2003. p. 185.</ref> A soma dos seus ângulos internos é igual a <math>360^\circ,</math> bem como a soma dos seus ângulos externos.<ref name=":0">{{citar livro|título = Fundamentos de Matemática Elementar|sobrenome = Dolce|nome = O.|edição = 9|local = |editora = Atual|ano = 2013|página = |isbn = 9788535716863}}</ref>
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[[Imagem:Figura 25.png|alt=|thumb|Elementos de um quadrilátero|358x358px]]Identificamos os seguintes elementos em um '''quadrilátero''' <math>ABCD:</math>
* vértices: os pontos <math>A,</math> <math>B,</math> <math>C</math> e <math>D;</math>
* lados: os segmentos de reta <math>\overline{AB},</math> <math>\overline{BC},</math> <math>\overline{CD}</math> e <math>\overline{DA};</math>
* diagonais: A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono, portanto os segmentos <math>\overline{AC}</math> e <math>\overline{BD}</math> são chamados de diagonais do quadrilátero ABCD.
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== Quadriláteros notáveis ==
Os quadriláteros notáveis são os [[Trapézio (geometria)|trapézios]], os [[paralelogramo]]s, os [[retângulo]]s, os [[losango]]s e os [[quadrado]]s.<ref name=":0" />
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=== Trapézio ===
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Assim, seja <math>ABCD</math> um quadrilátero qualquer, cujos ângulos internos medem <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>d</math> e seus ângulos externos, respectivamente <math>e</math>, <math>f</math>, <math>g</math> e <math>h</math>, temos:
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<math>a+b+c+d=360^\circ</math> e <math>e+f+g+h=360^\circ</math>
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=== Demonstração ===
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== Área dos Quadriláteros Notáveis ==
=== Área do trapézio ===
<math>A=\dfrac{(B+b).h}{2}</math>
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== Quadrilátero circunscrito ==
Um '''quadrilátero''' convexo é circunscritível a uma [[circunferência]] se, e somente se, seus quatro lados são tangentes a
==== Propriedade ====
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Um '''quadrilátero''' só é circunscritível a uma [[circunferência]] se a soma de quaisquer dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados opostos.
Isso pode ser enunciado através do seguinte teorema:
"Uma condição necessária e suficiente para um '''quadrilátero''' convexo ser circunscritível a uma
Por se tratar de uma equivalência, precisamos demonstrar esse teorema em duas partes.
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===== Segunda parte =====
Se num '''quadrilátero''' convexo a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois, então o '''quadrilátero''' é circunscritível a uma [[circunferência]].
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Assim, queremos mostrar que:
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Assim, tomaremos uma [[circunferência]] <math>\lambda</math> tangente aos lados <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math> e <math>\overline{CD}</math> do quadrilátero.
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Como enunciamos que <math>ABCD</math> não é circunscritível a <math>\lambda</math>, existe um '''quadrilátero''' <math>ABCX</math>, com <math>X</math> na reta <math>\overleftrightarrow{CD}</math> que é circunscrito a <math>\lambda</math>.
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== As Definições de Quadriláteros ao Longo da História ==
=== <u>Os Elementos de Euclides</u> ===
Os Elementos de Euclides foi um dos mais antigos tratados gregos existentes; a mais renomada obra na história da matemática. Segundo Proclus tal obra está relacionada com o resto da matemática, assim como as letras do alfabeto estão relacionadas com a linguagem{{
* '''Rombóide''' é a que tem tanto os lados opostos quanto os ângulos opostos iguais entre si, a qual não é equilátera nem retangular (p. 98). Ser retangular para Euclides é ter cada um dos ângulos opostos reto
* '''Das áreas paralelogrâmicas ACDB''', tanto os lados quanto os ângulos opostos são iguais entre si (p. 124). ''“... digo que tanto os lados quanto os ângulos opostos do paralelogramo ACDB são iguais entre si...”''
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Em resumo Legendre define os quadriláteros da seguinte forma: '''(figura 3)'''[[Imagem:Quadrilátero 03.png|thumb|Quadriláteros Notáveis de Legendre|centre|276x276px]]
=== <ref>{{citar livro|nome = José Hernan Perez|sobrenome = castellanos|título = Geometría Elemental|ano = 1971|isbn = }}</ref> ===
Em seu livro: Geometria Elementar, primeira edição em 1971. Edwin M. Hemmerling, define os quadriláteros da seguinte maneira:
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Em resumo João Lucas M.B. classifica os quadriláteros conforme exposto '''figura 5.'''[[Imagem:Quadrilátero 05.png|thumb|Quadriláteros Notáveis de João Lucas M.B.|centre|279x279px]]
Note que todos estes matemáticos consideram o conjunto dos quadriláteros como uma bipartição por disjunção, ou seja, não existem paralelogramos que são trapézios e vice – versa. Isto não anula a existência de estudos e literaturas que discutam a possibilidade de o conjunto dos paralelogramos ser um subconjunto do conjunto dos trapézios. É o caso dos estudos dos matemáticos: Guy Laville;<ref>Laville, Guy. Géométrie pour le capes et l’agrégation. ellipses: ellipses – Edition marketing S. A., 1998, p. 199 e 212.</ref> Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder em seu Atlas des Mathématiques;<ref>Reinhardt, Fritz; SOEDER, Heinrich. Atlas des mathématiques. Paris: Librairie Générale Française, 1997, p. 162 – 163.</ref> Vicenzo Bongiovanni na Revista do Professor de Matemática, Nª 72<ref>Bongiovanni, Vicenzo. As diferentes
definições dos quadriláteros notáveis. Revista do Professor de Matemática, PUC
- São Paulo, n. 55.</ref> e José Adelino Serrasqueiro no seu Tratado de Geometria Elementar.<ref>Serrasqueiro, José Adelino. Tratado de geometria elementar, composto segundo o programa oficial para o ensino desta ciência nos liceus. Coimbra, Livraria central de J. Diogo Pires, sucessoras, 1926, Livro quarto, cap. 1, p. 97 – 105.</ref>
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== Referências ==
{{Commons category|Tetragons}}
{{Esboço-geometria}}▼
▲{{Esboço-geometria}}
{{Portal3|Matemática}}
{{Controle de autoridade}}
[[Categoria:Polígonos]]
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