Universo de Grothendieck: diferenças entre revisões
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Na [[teoria dos conjuntos]], pelo menos com os [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]], é contraditória a existência de um conjunto incluindo todos os conjuntos. O conceito de '''universo de Grothendieck''' (de [[Alexander Grothendieck]], matemático alemão) permite considerar conjuntos que, apesar de não incluírem todos os conjuntos, são suficientemente grandes para permitir certas operações matemáticas.
==Definição==
# Se ''x'' é um elemento de ''U'' e ''y'' é um elemento de ''x'', então ''y'' é um elemento de ''U''. (''U'' é um [[conjunto transitivo]].)▼
# Se ''x'' é um elemento de ''U'', então o [[conjunto das partes]] ''P(x)'' é um elemento de ''U''.▼
▲# Se {{math|''x''}} é um elemento de {{math|''U''}} e {{math|''y''}} é um elemento de {{math|''x''}}, então {{math|''y''}} é um elemento de {{math|''U''
O '''axioma de universos''' diz que para todo ''x'' conjunto há ''U'' universo de Grothendieck tal que <math>x\in U</math>.<ref>{{harv | SGA4-1 | loc=§I.0}}</ref>▼
# Se {{math|''x''}} e {{math|''y''}} são elementos de {{math|''U''}}, então o conjunto {{math|{{(}}''x'', ''y''{{)}}}} é um elemento de {{math|''U''}}.
▲# Se {{math|''x''}} é um elemento de {{math|''U''}}, então o [[conjunto das partes]]
# Se {{math|''I''}} (um conjunto de índices) é um elemento de {{math|''U''}}, e, para cada {{math|''i'' ∈ ''I''}}, há um elemento {{math|''x''<sub>''i''</sub> ∈ ''U''}}, a união {{math|⋃<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> ''x''<sub>''i''</sub>}} pertence a {{math|''U''}}.
Com essas regras, os universos de Grothendieck mais simples serão o conjunto vazio, e conjunto dos [[conjuntos hereditariamente finitos|conjuntos hereditariamente finitos]] (isto é, os conjuntos que podem ser descritos usando uma quantidade finita dos símbolos "{{math|∅}}", "{{math|{{(}} {{)}}}}" e vírgula).<ref name=sgaapend>{{harv | SGA4-1 | loc=§II, apêndice}}</ref> Para eliminar esses casos triviais, alguns autores exigem que o conjunto {{math|ℕ {{=}} {{(}}∅, {{(}}∅{{)}}, {{(}}∅, {{(}}∅{{)}}{{)}}, …{{)}}}} dos [[número ordinal|ordinais finitos]] pertença a {{math|''U''}}.<ref name=nlab>{{harv | Grothendieck universe – Nlab}}</ref>
▲O '''axioma de universos''' diz que, para todo conjunto {{math|''x''}},
==Propriedades==
Cada universo de Grothendieck {{math|''U''}} também satisfaz:
* Se {{math|''x'', ''y'' ∈ ''U''}}, a dupla {{math|(''x'', ''y'')}} (definida na teoria de conjuntos como {{math|{{(}}{{(}}''x''{{)}}, {{(}}''x'', ''y''{{)}}{{)}}}}) pertence a {{math|''U''}}.
* Se {{math|''x'' ∈ ''U''}} e {{math|''y'' ⊆ ''x''}}, {{math|''y'' ∈ ''U''}}.
* Se {{math|''X'' ∈ ''U''}} e {{math|''Y'' ∈ ''U''}}, {{math|''X'' × ''Y'' ∈ ''U''}}.<ref name=sgaapend />
<!-- Inteiros, racionais, reais, mas não encontrei referência. -->
Cada universo de Grothendieck incluindo {{math|ℕ}} é um ∈-[[modelo (matemática)|modelo]] para os [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]], de modo que sua existência não pode ser demonstrada por estes axiomas.<ref name=nlab /><!-- O Nlab não menciona o ∈ em ∈-modelo; encontrar referência melhor. -->
{{Referências}}
==Bibliografia==
* {{citar livro |
* {{citar web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+universe |titulo=Grothendieck universe – Nlab |acessodata=8 de fevereiro de 2020}}
{{esboço-matemática}}
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