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Teorema de Nielsen–Schreier: diferenças entre revisões

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Acrescentei um critério de infinitude para grupos apresentados, que ilustra melhor, talvez, o uso do Teorema de Schreier-Reidemeister.
m Algumas ambiguidades foram desfeitas.
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Continuando, obtemos <math>s_{1}^{\epsilon_{1}}s_{2}^{\epsilon_{2}}\ldots s_{r}^{\epsilon_{r}}=av</math>, onde <math>a</math> está no subgrupo gerado proposto e <math>v\in\mathcal{R}</math>. Como o subgrupo gerado claramente é subgrupo de <math>H</math>, temos <math>v\in H</math>, donde <math>v=1</math>, finalizando o argumento. Como corolário, obtemos que são finitamente gerados subgrupos de índice finito de grupos finitamente gerados; além disso, o número mínimo de geradores de tal subgrupo é majorado pelo produto de seu índice pelo número mínimo de geradores do grupo que o contém.
 
Note que, em geral, para uma transversal <math>T</math> com <math>\overline{1}=h\in H</math>, temos a transversal <math>h^{-1}T</math> na qual <math>\overline{\overline{1}}=1</math>; claramente <math>\overline{\overline{g}}=h^{-1}\overline{g}</math> (barras duplas evidentemente se referem à nova transversal). Logo o conjunto gerador obtido nas considerações anteriores torna-se <math>\big\{ h^{-1}(tx)(\overline{tx})^{^{{\scriptstyle-1}}}\!h\mid t\in T,x\in X\big\}</math>.
 
=== O Teorema de Schreier-Reidemeister ===
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'''Lema.''' Se <math>G</math> tem apresentação <math>G\cong\langle X\mid R\rangle</math>, com <math>X,R</math> conjuntos finitos e <math>\operatorname{card}X>\operatorname{card}R</math>, então a abelianização <math>G_{\textrm{ab}}=G/[G,G]</math> possui infinitos elementos. Em particular, <math>G</math> é um grupo infinito.
 
''Prova.'' Seja <math>X=\{x_{1},\ldots,x_{n}\}</math>, <math>\operatorname{card}X=n</math>. Passando para a abelianização e adotando a notação aditiva, podemos ver os relatores em <math>R</math> como polinômios homogêneos de grau <math>1</math> em <math>\mathbb{Q}[x_{1},\ldots,x_{n}]</math> — de fato, seem <math>X=\mathbb{Z}[x_{1},\ldots,x_{n}\]</math>. Por exemplo, o relator <math>x_{1}^{3}x_{2}^{-1}x_{3}^{7}x_{1}^{-2}x_{4}</math> deve corresponder ao polinômio <math>3x_{1} - x_{2} + 7x_{3} - 2x_{1}+x_{4}=x_{1} - x_{2} + 7x_{3} +x_{4}</math>. É fato elementar da Álgebra Linear que existe um elemento em <math>(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\times\dots\times \mathbb{Q})\smallsetminus\{0\}</math> que anula todo elemento de <math>R</math> (heurística: há mais incógnitas do que equações); existe, pois, um elemento em <math>\mathbb{Z}^{n}\smallsetminus\{0\}</math> que anula todo elemento de <math>R</math> (multiplique a solução anterior por um inteiro adequado); podemos supor que esse elemento está no grupo abeliano livre <math>F_{\textrm{ab}}(X)</math>, digamos <math>w=\mathop{{\textstyle{\sum}}}w_{i}x_{i} \ne0</math>. O Teorema de von Dyck garante que a associação <math>X\to F_{\textrm{ab}}(X): x_{i}\mapsto w_{i}x_{i}</math> estende-se a um homomorfismo <math>\psi:G_{\textrm{ab}}\to F_{\textrm{ab}}(X)</math>; possuindo <math>G_{\textrm{ab}}</math> uma imagem homomorfa infinita, uma vez que <math>\langle w\rangle\le \operatorname{Im}\psi</math>, segue o Lema.
 
'''Prova do Teorema.''' Se <math>P</math> for infinito, não há nada a fazer. Suponha então <math>P</math> finito de ordem <math>n</math>, de forma que <math>H=\operatorname{Ker}\theta</math> tem índice finito <math>n</math> em <math>G</math>. Seja <math>K\vartriangleleft F(X)</math> a pré-imagem de <math>H</math> no grupo livre sobre <math>X</math>, <math>F/K\cong G/H\cong P</math>. Por Nielsen-Schreier, podemos escolher um isomorfismo <math>\beta : K\to F(Y)</math>, <math>\operatorname{card}Y=n(r-1)+1</math>. Por Schreier-Reidemeister, temos <math>H\cong \big\langle Y\,\big\vert\,\left(aw_{i}^{m_{i}}a^{-1}\right)^{\beta},i=1,2,\ldots,s,a\in A\big\rangle</math>, o conjunto <math>A</math> sendo uma transversal à direita fixa para <math>K</math> em <math>F(X)</math>. Para cada <math>i=1,2,\ldots,s</math> temos <math>n</math> relatores. A ideia principal da demonstração é encontrar relatores redundantes, de modo que o Lema venha à mão. Fá-lo-emos do seguinte modo: escolha um elemento da transversal, digamos <math>a_{0}\in A</math>. Note que as classes <math>Ka_{0}, Ka_{0}w_{1}, Ka_{0}w_{1}^{2},\ldots, Ka_{0}w_{1}^{m_{1}-1}</math> são duas a duas distintas: caso não fossem, teríamos <math>Ka_{0}w_{1}^{\ell}=Ka_{0}</math> para algum <math>0<\ell<m_{1}</math>. Por normalidade de <math>K</math>, ter-se-ia <math>w_{1}^{\ell}\in K</math>, donde, em <math>G</math>, <math>w_{1}^{\ell}\in H</math>, isto é, <math>\big(w_{1}^{\theta}\big)^{\ell}=1</math> — absurdo pois a ordem de <math>w_{1}^{\theta}</math> é <math>m_{1}</math>. Temos então <math>m_{1}</math> elementos de <math>A</math>, <math>a_{0},\overline{a_{0}w_{1}},\overline{a_{0}w_{1}^{2}},\ldots,\overline{a_{0}w_{1}^{m_{1}-1}}</math>. Agora <math>\overline{a_{0}w_{1}^{\nu}}w_{1}^{m_{1}}\overline{a_{0}w_{1}^{\nu}}^{-1}=\overline{a_{0}w_{1}^{\nu}}\big(a_{0}w_{1}^{\nu}\big)^{-1}\big(a_{0}w_{1}^{\nu}\big)w_{1}^{m_{1}}\big(a_{0}w_{1}^{\nu}\big)^{-1}\big(a_{0}w_{1}^{\nu}\big)\overline{a_{0}w_{1}^{\nu}}^{-1}=u_{\nu}(a_{0}w_{1}^{m_{1}}a_{0}^{-1})u_{\nu}^{-1}</math> para algum <math>u\in K</math>. Daí, os <math>m_{1}</math> relatores oriundos de tais elementos da transversal são mutuamente conjugados, logo, destes, precisamos de apenas um. Escolhendo um elemento da transversal diferente daqueles já obtidos, podemos repetir o argumento até a exaustão dos <math>n</math> relatores. Vê-se facilmente agora que são necessários apenas <math>n/m_{1}</math> dos relatores iniciais. Isso claramente se repete para <math>i=2,\ldots,s</math>. Portanto, <math>H</math> tem uma apresentação com <math>n(r-1)+1</math> geradores e <math>(n/m_{1})+(n/m_{2})+\ldots+(n/m_{s})=n\mathop{\textstyle{\sum}}_{i=1}^{s}\textstyle{\frac{1}{m_{i}}}</math> relatores. Por hipótese, o número de geradores excede o número de relatores; apelando ao Lema, temos <math>H</math> infinito, finalizando a demonstração.
 
''Exemplo.'' O grupo <math>\langle x,y\mid x^{4},y^{8},(xy)^{6}\rangle</math> é infinito. Temos <math>\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{6}\le1</math>. Considere as permutações <math>\pi_{1}=(1,2,3,4),\pi_{2}=(1,2,3,4,5,6,7,8),\pi_{1}\pi_{2}=(1,3,5,6,7,8)(2,4)</math> e escolha <math>P=\langle \pi_{1},\pi_{2}\rangle</math>. Em geral, o grupo <math>D(l,m,n)=\langle x,y \mid x^{l}, y^{m},(xy)^{n}\rangle</math>, intimamente relacionado com certas tesselações triangulares de planos (no sentido amplo de geometrias Euclidianas ou não), é infinito se, e somente se, <math>\tfrac{1}{l}+\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{n}\le1</math>. É possível mostrar que, dada uma tripla <math>(l,m,n)</math> de inteiros maiores que um<math>1</math>, existem elementos <math>\gamma,\delta</math> do grupo <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{C})</math> das transformações lineares fracionais lineares do plano complexo estendido <math>\tilde{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\sqcup\{\infty\}</math>, tais que <math>\operatorname{ord}(\gamma)=l</math>, <math>\operatorname{ord}(\delta)=m</math>, <math>\operatorname{ord}(\gamma\delta)=n</math>. Por outro lado, as únicas triplas daquela forma satisfazendo <math>\tfrac{1}{l}+\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{n}>1</math> são <math>(2,2,n)</math>, <math>(2,3,3)</math>, <math>(2,3,4)</math>, <math>(2,3,5)</math>. No primeiro caso, vê-se facilmente que se trata de um grupo diedral <math>D_{2n}</math>. Nos casos restantes, temos, respectivamente, <math>\operatorname{Alt}(4)</math>, <math>\operatorname{Sym}(4)</math>, <math>\operatorname{Alt}(5)</math>. Considere as permutações <math>\sigma=(1,2,3)</math>, <math>\tau=(2,4)(3,5)</math>, <math>\sigma\tau=(1,4,2,5,3)</math>. Note que <math>\sigma^{\tau\sigma\tau}=(4,2,3)</math>, <math>\alpha:=\tau\sigma^{\tau\sigma\tau}=(3,5,4)</math> e <math>\langle \tau,\alpha\rangle\le\big(\!\operatorname{Alt}(5)\big)_{1}=\operatorname{Stab}(1)\cong \operatorname{Alt}(4)</math>. Em <math>\langle\tau,\alpha\rangle</math>, temos <math>\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle=\langle (2,4)(3,5),(2,3)(5,4)\rangle\cong C_{2}\times C_{2}</math>; além disso as classes <math>\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle,\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle\alpha,\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle\alpha^{2}</math> são duas a duas distintas e esgotam o espaço de classes <math>\operatorname{mod}\,\,\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle</math>, logo <math>\vert\langle \tau,\alpha\rangle\vert=12</math>. Como <math>5</math> e <math>12</math> dividem a ordem de <math>\langle\sigma,\tau\rangle\le\operatorname{Alt}(5)</math>, temos a igualdade. Usando ideias similares, mas em <math>D(2,3,3)</math>, prova-se que <math>D(2,3,3)</math> é finito de ordem no máximo <math>12</math>; portanto, <math>x\to\tau,y\to\alpha</math> é um isomorfismo <math>D(2,3,3)\cong\operatorname{Alt}(4)</math>. Em <math>D(2,3,5)</math> há um subgrupo que é uma imagem homomorfa de <math>D(2,3,3)</math>, portanto é finito de ordem no máximo <math>12</math>. Usando as potências de <math>xy</math> como representantes de classes módulo tal subgrupo, mostra-se que <math>D(2,3,5)</math> é finito de ordem no máximo <math>12\cdot 5=60</math>, permitindo-nos concluir que <math>x\to\tau,y\to\sigma</math> é um isomorfismo <math>D(2,3,5)\cong\operatorname{Alt}(5)</math>. Ideias inteiramente análogas mostram que <math>x\to(1,4)</math>, <math>y\to(1,2,3)</math> é um isomorfismo <math>D(2,3,4)\cong\operatorname{Sym}(4)</math>.
 
=== Um último exemplo ===
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