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Progressão geométrica: diferenças entre revisões

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A expressão estava com erro de digitação
Correção da descrição da ordem da subtração: em a-b, subtrai-se b de a (não a de b); format. <math> e pontuação
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{{mais-notas|data=Fevereiro de 2013| arte=| Brasil=| ciência=| geografia=| música=| Portugal=| sociedade=|1=|2=|3=|4=|5=|6=}}
 
[[Ficheiro:Geometric progression convergence diagram.svg|thumb|350px|Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.]]
Linha 6:
Alguns exemplos de progressão geométrica:
 
* <math>\left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, \ldots\right),</math> em que <math>q=2</math> e <math>a_1=1;</math>; <ref name="perthensis.geometric.progression" />
* <math>\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256}, \ldots\right),</math> em que <math>q=\frac{1}{2}</math> e <math>a_1=1;</math>;
* <math>\left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187, \ldots\right),</math> em que <math>q=-3</math> e <math>a_1=-3;</math>;
* <math>\left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7, \ldots\right),</math> em que <math>q=1</math> e <math>a_1=7;</math>;
* <math>\left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0, \ldots\right),</math> em que <math>q=0</math> e <math>a_1=3;</math>;
 
termo geral ==
Linha 22:
É fácil demonstrar por [[indução matemática]] que
 
: <math display="block">a_n=a_1.q^{n-1}.</math>
 
De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:
 
: <math display="block">a_n = a_m \ q^{n - m} , ~~ n>m.</math>
 
== Soma dos termos de uma P.G. ==
Linha 32:
A [[Soma (aritmética)|soma]] dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por
 
: <math display="block">S_n = \sum_{i=1}^{n}a_1 q^{i-1} = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^{n-1}.</math>
 
Caso <math>q\neq 1,</math> a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:
:<math display="block">S_n = \frac{a_1(1-q^{n})}{1-q}</math>
 
=== Demonstração ===
Linha 41:
Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:
 
: <math display="block">S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}.</math>
 
Multiplica-se pela razão <math>q:</math>
 
: <math display="block"> q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n.</math>
 
Subtrai-se a segundaprimeira da primeirasegunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:
 
: <math display="block">q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1,</math>
o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a
: <math display="block">\left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right).</math>
 
Divide-se ambos os termos por <math>(q-1)\neq 0</math> e o resultado segue.
Linha 59:
A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no [[intervalo fechado]] de <math>a_p</math> até <math>a_q</math> é calculada pela seguinte fórmula:
 
:<math display="block">S_{(p,q)} = \frac{a_{p+1}(1-q^{q-p})}{1-q}.</math>
 
== Soma dos ''infinitos'' termos de uma progressão geométrica ==
Linha 67:
A ''soma'' dos infinitos termos de uma P.G. é chamada [[série geométrica]] e está bem definida quando <math>|q|<1.</math> Sua soma é:
 
: <math display="block">S_\infty = \sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}.</math>
 
Se <math>q \geq 1</math> e <math>a_1>0</math> então sua soma é '''mais infinito''' e se <math>q \geq 1</math> e <math>a_1<0,</math> sua soma é '''menos infinito'''.
 
: <math display="block">S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\
+\infty, & q\geq 1, a_1>0\\
Linha 83:
 
O [[produto]] dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por
: <math display="block">P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}},</math>
e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:
: <math display="block">P_n = \prod_{i=1}^{n} a_{i}= (a_1 \times a_n)^{\frac{n}{2}},</math>
sendo similar à forma do somatório de uma [[progressão aritmética]].
 
Linha 98:
 
=== Progressão geométrica crescente ===
Uma '''progressão geométrica crescente''' é toda P.G em que a razão <math>q</math> é superior a [[Um|1]] e seu primeiro termo <math>a_1</math> é superior a [[0 (número)|0]] ou quando sua razão <math>q</math> está entre [[0 (número)|0]] e [[Um|1]] e seu primeiro termo <math>a_1</math> é inferior a [[0 (número)|0]]. Obedecendo assim a ordem: <math>q>1</math> e <math>a_1>0</math> ou <math>0<q<1</math> e <math>a_1<0.</math>.
 
Exemplos de progressões geométricas crescentes:
* <math>(1,3,9,27,81, . . .)</math> tem razão <math>q=3</math> e primeiro termo <math>a_1=1.</math>.
* <math>(-4;-2;-1;-0,5;-0,25; . . .)</math> tem razão <math>q=0,5</math> e primeiro termo <math>a_1=-4.</math>.
 
=== Progressão geométrica decrescente ===
Uma '''progressão geométrica decrescente''' é toda P.G em que a razão <math>q</math> é superior a [[Um|1]] e seu primeiro termo <math>a_1</math> é inferior a [[0 (número)|0]] ou quando sua razão <math>q</math> está entre [[0 (número)|0]] e [[Um|1]] e seu primeiro termo <math>a_1</math> é superior a [[0 (número)|0]]. Obedecendo assim a ordem: <math>q>1</math> e <math>a_1<0</math> ou <math>0<q<1</math> e <math>a1>0.</math>.
 
Exemplos de progressões geométricas decrescentes:
* <math>(-4,-8,-16,-32,-64, . . . )</math> tem razão <math>q=2</math> e primeiro termo <math>a_1=-4.</math>.
* <math>(64,32,16,8,4, . . .)</math> tem razão <math>q=1/2</math> e primeiro termo <math>a_1=64.</math>.
 
=== Progressão geométrica oscilante ===
Uma '''progressão geométrica oscilante''' é toda P.G em que a razão <math>q</math> é um [[número negativo]], fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: <math>q<0.</math>.
 
Exemplos de progressões geométricas oscilantes:
* <math>(3,-6,12,-24,48, . . .)</math> tem razão <math>q=-2</math> e primeiro termo <math>a_1=3.</math>.
* <math>(4,-16,64,-256,1024, . . .)</math> tem razão <math>q=-4</math> e primeiro termo <math>a_1=4.</math>.
 
== Exemplo de progressão geométrica ==
Abaixo temos uma tabela na qual o termo <math>a_{n = 1} = 2</math> e o termo <math>a_{n = 2} = 6,</math>, e assim sucessivamente em progressão geométrica.
 
{|class="wikitable" style="text-align: right;"
Linha 169:
 
* Qual é o 8º termo da PG acima?
: <math display="block">
\begin{align}
P_8 & = 2 \cdot 3 ^ {(8 - 1)} \\
Linha 183:
Inicialmente é necessário obter-se o quociente(<math>q</math>).
 
: <math display="block">
\begin{align}
q & = \sqrt[n-m]{\frac{P_n}{P_m}}
Linha 189:
</math>
 
Após obtido o quociente(<math>q</math>) o enésimo(<math>e</math>) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo <math>n,</math>, ou seja, <math>(n - e).</math>.
 
: <math display="block">
\begin{align}
P_e & = \frac{Pn}{{q}^{(n-e)}}
Linha 201:
Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo(<math>m</math>) igual a 1.250 e o 8º termo(<math>n</math>) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo(<math>e</math>)?
 
: <math display="block">
\begin{align}
q & = \sqrt[8-5]{\frac{156.250}{1.250}} \\
Linha 211:
:Agora usando o quociente (<math>q</math>) na fórmula do enésimo termo (<math>P_e</math>).
 
: <math display="block">
\begin{align}
P_e & = \frac{156.250}{5^{(8-2)}} \\
Obtida de "https://pt.wikipedia.org/wiki/Progressão_geométrica"