Homologia persistente: diferenças entre revisões

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A '''homologia persistente''' é um método para calcular características topológicas de um espaço em diferentes resoluções espaciais. Características mais persistentes são detectadas em uma gama ampla de escalas espaciais e são consideradas mais propensas a representar características verdadeiras do espaço subjacente, em vez de artefatos da amostragem, ruído ou escolha específica de parâmetros.<ref>Carlsson, Gunnar (2009). "[http://www.ams.org/journals/bull/2009-46-02/S0273-0979-09-01249-X/ Topology and data]". ''AMS Bulletin'' '''46(2)''', 255&#x2013;308.</ref>

Para encontrar a homologia persistente de um espaço, primeiro é necessário representá-lo como um [[Complexo simplicial|complexo simpicial]]. Uma função de distância no espaço subjacente corresponde a uma filtração do complexo simplicial, que é uma sequência aninhada de subconjuntos crescentes.

Formalmente, considere uma função de valor real em um complexo simplicial <math>f:K \rightarrow \mathbb{R}</math> que é não-decrescente em sequências crescentes de faces, <math>f(\sigma) \leq f(\tau)</math> sempre que <math>\sigma</math> é uma face de <math>\tau</math> em <math>K.</math>. Então, para cada <math> a \in \mathbb{R}</math> o [[Conjunto de nível|conjunto de subnível]] <math>K(a)=f^{-1}(-\infty, a]</math> é um sub-complexo de ''K'', e a ordenação dos valores de <math>f</math> sobre os simplexos em <math>K</math> (que na prática é sempre finito) induz uma ordenação nos complexos de subnível que define uma filtragem

: <math display="block"> \emptyset = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_n = K </math>

Quando <math> 0\leq i \leq j \leq n,</math>, a inclusão <math>K_i \hookrightarrow K_j</math> induz um [[Homomorfismo de grupos|homomorfismo]] <math>f_p^{i,j}:H_p(K_i)\rightarrow H_p(K_j)</math> nos grupos de homologia simplicial para cada dimensão <math>p.</math>. Os <math>p</math>-ésimos '''grupos de homologia persistentes''' são as imagens desses homomorfismos, e os <math>p</math>-ésimos '''números Betti persistentes''' <math> \beta_p^{i,j}</math> são os postos desses grupos. <ref>Edelsbrunner, H and Harer, J (2010). ''[https://books.google.com/books?id=MDXa6gFRZuIC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22persistent%20homology%22&f=false Computational Topology: An Introduction]''. American Mathematical Society.</ref> Os números Betti persistentes para <math>p=0</math> coincidem com a função tamanho, uma predecessora da homologia persistente.<ref>Verri, A, Uras, C, Frosini, P and Ferri, M (1993). ''[https://link.springer.com/article/10.1007/BF00200823#page-1 On the use of size functions for shape analysis]'', Biological Cybernetics, '''70''', 99–107.</ref>

Qualquer complexo filtrado em um campo <math>F</math> pode ser trazido por uma transformação linear preservando a filtração para a chamada '''forma canônica''', uma soma direta definida canonicamente de complexos filtrados de dois tipos: complexos unidimensionais com diferencial trivial <math>d(e_{t_i})=0</math> e complexos bidimensionais com homologia trivial <math>d(e_{s_j+r_j})=e_{r_j}.</math>. <ref name="Barannikov 1994">{{Citar periódico|primeiro6=Sergey|titulo=Framed Morse complex and its invariants|url=https://www.researchgate.net/publication/267672645|jornal=Advances in Soviet Mathematics|volume=21|páginas=93–115|lastúltimo =Barannikov}}</ref>

Um '''módulo de persistência''' sobre um conjunto [[Conjunto parcialmente ordenado|parcialmente ordenado]] <math>P</math> é um conjunto de espaços vetoriais <math>U_t</math> indexado por <math>P,</math>, com uma transformação linear <math>u_t^s: U_s \to U_t</math> sempre que <math>s \leq t,</math>, com <math>u_t^t</math> igual à identidade e <math>u_t^s \circ u_s^r = u^r_t</math> para <math>r \leq s \leq t.</math> . Equivalentemente, ele pode ser considerado como um [[functor]] de <math>P</math> considerado como uma categoria para a categoria dos espaços vetoriais (ou [[Módulo (álgebra)|<math>R</math> -módulos]]). Existe uma classificação dos módulos de persistência sobre um corpo <math>F</math> indexado por <math>\mathbb{N}:</math>: <math display="block">U \simeq \bigoplus_i x^{t_i} \cdot F[x] \oplus \left(\bigoplus_j x^{r_j} \cdot (F[x]/(x^{s_j}\cdot F[x]))\right).</math> A multiplicação por <math>x</math> corresponde ao avanço em uma etapa no módulo de persistência. Intuitivamente, as partes livres do lado direito correspondem aos geradores da homologia que aparecem no nível de filtração <math>t_i</math> e nunca desaparecem, enquanto as partes de torção correspondem às que aparecem no nível de filtração <math>r_j</math> e duram por <math>s_j</math> etapas da filtração (ou equivalentemente, desaparecem no nível de filtração <math>s_j+r_j</math>)<ref>{{Citar periódico|primeiro6=Afra|titulo=Computing Persistent Homology|jornal=Discrete & Computational Geometry|volume=33|páginas=249–274|doi=10.1007/s00454-004-1146-y|issn=0179-5376|doi-access=free|lastúltimo =Zomorodian}}</ref><ref name="Barannikov 1994">{{Citar periódico|primeiro6=Sergey|titulo=Framed Morse complex and its invariants|url=https://www.researchgate.net/publication/267672645|jornal=Advances in Soviet Mathematics|volume=21|páginas=93–115|lastúltimo =Barannikov}}</ref>

Cada um desses dois teoremas permitem uma representação única da homologia persistente de um complexo simplicial filtrado por meio de um '''código de barras''' ou '''diagrama de persistência'''. Um código de barras representa cada gerador persistente com uma linha horizontal começando no primeiro nível de filtração em que ele aparece e terminando no nível de filtração em que ele desaparece, enquanto um diagrama de persistência plota um ponto para cada gerador com sua coordenada ''x'' sendo o momento de nascimento e sua coordenada ''y'' sendo o momento da morte. Equivalentemente, os mesmos dados são representados pela '''forma canônica''' de Barannikov ,<ref name="Barannikov 1994">{{Citar periódico|primeiro6=Sergey|titulo=Framed Morse complex and its invariants|url=https://www.researchgate.net/publication/267672645|jornal=Advances in Soviet Mathematics|volume=21|páginas=93–115|lastúltimo =Barannikov}}</ref>, na qual cada gerador é representado por um segmento conectando os valores de nascimento e morte plotados em linhas separadas para cada <math>p.</math>.

A homologia persistente é estável em um sentido preciso, o que fornece robustez contra ruído. Existe uma métrica natural no espaço dos diagramas de persistência dada por <math display="block">W_\infty(X,Y):= \inf_{\varphi: X \to Y} \sup_{x \in X} \Vert x-\varphi(x) \Vert_\infty,</math> chamada de '''distância de gargalo'''. Uma pequena perturbação na filtragem de entrada leva a uma pequena perturbação de seu diagrama de persistência na distância de gargalo. Como um exemplo concreto, considere uma filtragem em um espaço <math>X</math> homeomorfo a um complexo simplicial determinado pelos conjuntos de subnível de uma função contínua ''tame'' <math>f:X\to \mathbb{R}.</math>. A aplicação <math>D</math> que leva <math>f</math> no diagrama de persistência de sua <math>k</math>-ésima homologia é 1-Lipschitz com respeito à métrica do <math>\sup</math> em funções e a distância de gargalo em diagramas de persistência.

Em outras palavras, <math>W_\infty(D(f),D(g)) \leq \lVert f-g \rVert_\infty.</math>. <ref name=":17">{{Citar periódico|primeiro6=David|titulo=Stability of Persistence Diagrams|jornal=Discrete & Computational Geometry|volume=37|páginas=103–120|doi=10.1007/s00454-006-1276-5|issn=0179-5376|doi-access=free|lastúltimo =Cohen-Steiner}}</ref>

Existem vários pacotes de software para calcular intervalos de persistência de uma filtragem finita. O algoritmo principal é baseado em trazer o complexo filtrado à sua '''forma canônica''' por matrizes triangulares superiores.<ref name="Barannikov 1994">{{Citar periódico|primeiro6=Sergey|titulo=Framed Morse complex and its invariants|url=https://www.researchgate.net/publication/267672645|jornal=Advances in Soviet Mathematics|volume=21|páginas=93–115|lastúltimo =Barannikov}}</ref>

* [[Análise topológica de dados ]]

* [[Topologia computacional ]]

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