Força conservativa: diferenças entre revisões
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1 Visão geral 1.1 Independência da trajetória de forças conservativas 2 Descrição matemática 2.1 Prova de que estas três condições são equivalentes quando F é um campo de força. Etiquetas: Inserção de predefinição obsoleta Editor Visual: Trocado |
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{{Mecânica Clássica|Trabalho e Mecânica}}
Uma [[força]] é dita '''conservativa''' quando o
Num sentido mais geral, uma força é conservativa se, e somente se, pode ser expressa como o [[gradiente]] de uma função escalar, chamada de [[energia potencial]]. O termo ''conservativa'' vem do fato de que, em um sistema isolado no qual apenas forças conservativas atuam sobre os objetos, mesmo que haja variação da energia cinética e da energia potencial, há a conservação da [[energia mecânica]] E<sub>mec</sub> do sistema.
As forças conservativas mais conhecidas são a [[Força gravitacional|gravitacional]], a [[Lei de Hooke|elástica]] e a [[Força elétrica|eletrostática]] entre duas cargas.<ref>Nussenzveig, H. Moysés. ''Curso de Física Básica, 1: Mecânica''. – 5 ed., São Paulo: Blucher, 2013. ISBN 9788521207450</ref> Esta última, por ser uma [[força central]], é conservativa se, e somente se, ela é esfericamente simétrica.<ref name=":1">Taylor, John R. (2013). ''Mecânica clássica''. Tradução: Waldir Leite Roque. Porto Alegre: Bookman. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Especial:Fontes%20de%20livros/9788582600887|9788582600887]]</ref>
Exemplos de forças não-conservativas são: o [[arrasto]] (que depende da velocidade), o [[atrito]] (que depende da direção do movimento), a [[força magnética]] (que depende da velocidade) e a força de um campo elétrico dependente do tempo.<ref name=":1" />
== Visão geral ==
Informalmente, uma '''força conservativa''' pode ser considerada uma força que conserva [[energia mecânica]]. Em um sistema isolado, se todas as forças são forças conservativas, a energia mecânica do sistema é conservada. Aqui, a energia mecânica se refere à soma da energia cinética e da energia potencial.<ref name=":0" />
A [[força gravitacional]], a [[força elástica]], a força magnética (de acordo com algumas definições, veja abaixo) e a [[força elétrica]] (pelo menos em um campo magnético independente do tempo, veja a lei de indução de Faraday para detalhes) são exemplos de forças conservativas, enquanto [[atrito]] e [[arrasto]] são exemplos clássicos de forças não-conservativas. Para forças não-conservativas, a energia mecânica que é perdida (não conservada) e transformada em outra forma de energia, geralmente [[energia térmica|térmica]]. Essas e outras perdas de energia são irreversíveis de acordo com a [[segunda lei da termodinâmica]].
=== Independência da trajetória de forças conservativas ===
[[Imagem:Conservative Force Gravity Example.svg|thumb|upright|direita|O trabalho exercido pela [[força gravitacional]] em um objeto depende somente da mudança de sua altura pois essa força é conservativa.]]
Há um teste para determinar se uma força é conservativa ou dissipativa: deixa-se a força atuar sobre uma partícula movendo-se ao longo de um percurso fechado (que começa e termina no mesmo ponto). Se é nulo o trabalho total realizado sobre a partícula, durante esse ou qualquer outro percurso fechado, a força é conservativa.<ref name=":0" />
Uma consequência importante desse teste é a seguinte: o trabalho realizado por uma força conservativa em uma partícula que se move entre quaisquer dois pontos não depende de sua trajetória. Assim, se todas as forças que agem sobre a partícula são conservativas, o trabalho realizado sobre a partícula é o mesmo para as duas trajetórias. Esse resultado é importante porque permite simplificar problemas difíceis quando apenas uma força conservativa está envolvida.
O trabalho realizado por uma força conservativa equivale ao negativo da variação da [[energia potencial]] durante o processo. Para uma prova, imagine dois caminhos 1 e 2, ambos indo do ponto A ao ponto B. A variação de energia para a partícula, tomando o caminho 1 de A para B e depois o caminho 2 de volta de B para A, é 0; assim, o trabalho é o mesmo no caminho 1 e 2, ou seja, o trabalho é independente do caminho percorrido, desde que vá de A a B.
Por exemplo, se uma criança desliza para baixo em um escorregador sem atrito, o trabalho realizado pela força gravitacional na criança do início ao fim do escorregador é independente do formato do escorregador; depende apenas do deslocamento vertical da criança.
== Descrição matemática ==
Um [[campo de força]] ''F'' é considerado '''conservativo''' quando atende a três condições'' equivalentes'':
*O campo é definido em uma área simplesmente conectada e cumpre a condição de integrabilidade, o que significa que o [[rotacional]] de ''F'' é o vetor zero:
:<math>\vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{0}. \,</math>
* A soma do [[trabalho (física)|trabalho]] (''W'') realizado pela força ao mover uma partícula por uma trajetória que começa e termina no mesmo lugar é '''zero''':
:<math>W \equiv \oint_C \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec r = 0.\,</math>
* A força pode ser descrita como o [[gradiente]] negativo de um [[energia potencial|potencial]], <math>\Phi</math>:
:<math>\vec{F} = -\vec{\nabla} \Phi. \,</math>
[[Ficheiro:Konservative Kraft Wege.svg|miniaturadaimagem|Quaisquer dois caminhos em um campo de força conservativa.]]
===Prova de que estas três condições são equivalentes quando ''F'' é um [[campo de força]].===
Existem três critérios equivalentes para determinar se um campo é conservativo. O primeiro critério é acerca da definição de um campo de forças conservativo; os outros são outras formulações do primeiro critério. Muitas vezes o campo de força está definido de uma forma "direta" através do segundo critério. Assim, se tem que o trabalho em um campo conservativo é independente do percurso.
'''1 implica em 2'''
Seja ''C'' qualquer caminho fechado simples e considere uma superfície A da qual C é o limite. Então a integral sobre esse caminho será:
:<math> \int_A \left(\vec{\nabla} \times \vec{F}\right) \cdot \mathrm{d}\vec{a} = \oint_C \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} </math>
Se a curva de '''F''' é zero, o lado esquerdo é zero - portanto, a afirmação 2 é verdadeira.
'''2 implica em 3'''
Suponha que a afirmação 2 seja válida. Seja ''c'' uma curva simples da origem até um ponto <math>x</math> e defina uma função
:<math>\Phi(x) = -\int_c \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r}.</math>
O fato de essa função ser bem definida (independente da escolha de ''c'') decorre da afirmação 2. De qualquer forma, do [[teorema fundamental do cálculo]], segue-se que:
<math>\vec{F} = -\vec{\nabla} \Phi.</math>
Portanto, a afirmação 2 implica a afirmação 3 (ver [[gradiente]]).
'''3 implica em 1'''
Finalmente, suponha que a terceira afirmação seja verdadeira. Uma identidade de cálculo vetorial bem conhecida afirma que o rotacional do gradiente de qualquer função é 0 ([[Identidades_do_cálculo_vetorial#Rotacional|ver mais]]). Portanto, se a terceira afirmação for verdadeira, então a primeira declaração deve ser verdadeira também.
Isso mostra que a afirmação 1 implica 2, 2 implica 3 e 3 implica 1. Portanto, todos os três são equivalentes, [[Q.E.D.]]
Muitas forças (particularmente aquelas que dependem da velocidade) não são conservativas, pois as três condições citadas acima não são matematicamente equivalentes. Por exemplo, a [[força magnética]] satisfaz a condição 2 (visto que o trabalho feito pelo campo magnético em uma partócula carregada é sempre zero), mas não satisfaz a condição 1, e a condição 3 não é nem mesmo definida (a força não é um campo vetorial, não há como calcular seu rotacional). Alguns autores classificam a força magnética como conservativa,<ref name="srivastava1997mechanics">Por exemplo, {{Cite book|title=Mechanics|author=P. K. Srivastava|url=https://books.google.at/books?id=yCw_Hq53ipsC|year=2004|publisher=New Age International Pub. (P) Limited|access-date=2018-11-20|ISBN=9788122411126|page=94}}: "Em geral, uma força que depende explicitamente na velocidade da partícula não é conservativa. No entanto, a força magnética (q'''v'''×'''B''') pode ser incluida entre as forças conservativas visto que ela age perpendicularmente à velocidade, logo o trabalho realizado é sempre zero". [https://books.google.com/books?id=yCw_Hq53ipsC Link]</ref> enquanto outros não.<ref>Por exemplo, ''The Magnetic Universe: Geophysical and Astrophysical Dynamo Theory'', Rüdiger and Hollerbach, page 178, [https://books.google.com/books?id=IRJO9gvkJo8C Link]</ref> A força magnética é um caso incomum; a maior parte das forças dependentes de velocidade, como o [[atrito]] não satisfazem nenhuma das três condições e portanto não são conservativas.
== Teorema do trabalho e energia potencial ==
Se a partícula está sujeita a várias forças, todas elas conservativas, nosso resultado é facilmente generalizado.
O teorema do trabalho e energia potencial dá-se pela seguinte expressão:
<math> W_{1,2} = U(s_1) - U(s_2) </math>
onde ''U(s)'' é uma primitiva da função ''F<sub>t</sub>'' definida por:
<math>U = - \int\limits_{S_{ref}}^{S}F_t d_s</math>
A posição ''S<sub>ref</sub>'' é a posição de um ponto qualquer escolhido como referência. Para que a força seja realmente uma função da posição é necessário que sempre que a partícula se encontrar num ponto da sua trajetória, a força nesse ponto seja sempre igual, ou seja, que ela seja uma '''força conservativa'''.
A primitiva ''U(s)'' da força conservativa, definida pela equação acima, é designada por '''energia potencial'''. A escolha arbitrária do ponto de referência ''S<sub>ref</sub>'' não terá nenhuma consequência física, já que o que o trabalho será calculado a partir da diferença de energia potencial entre dois pontos.
A força resultante pode, em geral, incluir forças conservativas e não conservativas. O trabalho da força resultante é igual ao aumento de energia cinética, e pode ser calculado como o trabalho feito pela soma de todas as forças conservativas, mais o trabalho das forças não conservativas:
<math>W_{resultante} = W_{F_c} + W_{F_nc}</math>
O trabalho das forças conservativas é igual à diminuição da energia potencial e o trabalho total é igual ao aumento da energia cinética. Assim, temos:
<math>E_{c2}- E_{c1} = U_1 - U_2 + W_{1,2}</math> ('''não conservativas''')
Em que '''U''' é a soma de todas as energias potenciais associadas a todas as forças conservativas e ''E<sub>c</sub>'' é a '''energia cinética'''.
Define-se a '''energia mecânica''' do sistema igual à soma das energias cinética e potencial:
<math>E_m = E_c + U</math>
Em função da energia mecânica, a equação acima fica:
<math>E_{m2} - E_{m1} = W_{1,2}</math> ('''não-conservativas''')
Assim, o teorema do trabalho e a energia mecânica demonstra que:''O aumento da energia mecânica '''E<sub>m</sub>''', definida como a soma da [[energia cinética]] mais a [[energia potencial]], é igual ao trabalho feito pelas forças não conservativas.''
Uma consequência desse resultado é a '''lei de conservação da energia mecânica''': se não atuarem forças não conservativas, a energia mecânica do sistema permanecerá constante.<ref name=Villate>Jaime E. Villate. ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto. 2013. 267 p. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 07 jun. 2013.</ref>
== Gráficos de energia ==
Outra característica importante de sistemas unidimensionais é que, com apenas uma variável independente ''(x)'', podemos desenhar o gráfico da energia potencial ''U(x)'', o que torna mais fácil a visualização do comportamento do sistema.<ref name="3"> Assumindo que todas as forças sobre o objeto são conservativas, definimos a energia potencial como
<math>U(x) = - \int\{F_x(x')dx'</math>
onde ''Fx'' é a componente x da força resultante sobre a partícula.<br>
O gráfico da energia potencial associada a uma força conservativa é muito útil na análise do movimento. A figura a seguir mostra um exemplo; a curva representa a energia potencial total do sistema, em função da distância ao longo da trajetória, ''s''.<ref name=Villate/>
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<math>F_t = - \frac{dU}{ds}</math>
O gráfico da energia potencial associada a uma força conservativa é muito útil na análise do movimento. A figura a seguir mostra um exemplo; a curva representa a energia potencial total do sistema, em função da distância ao longo da trajetória, ''s''.<ref name=Villate/>
[[Imagem:Grafico energia.png|thumb|upright=2.0|Exemplo de energia potencial e energia mecânica]]
Há duas propriedades importantes a salientar na análise dos gráficos de energia potencial. A primeira é que em qualquer ponto ''s'', a componente tangencial da força associada à energia potencial é igual a menos a derivada da energia potencial:
<math>F_t = - \frac{dU}{ds}</math>
A segunda propriedade importante é que a partícula nunca poderá estar numa posição onde a energia mecânica <math>E_m</math> seja menor que a energia potencial, já que <math>E_m - U</math> é igual à energia cinética, que é sempre positiva ou nula. Aplicando essas propriedades ao exemplo no gráfico, vemos que nos intervalos <math><math>2<s<-1</math> e <math>2<s<5</math> o valor da força tangencial é positivo, isto é aponta no sentido em que a posição ''s'' aumenta. <ref name=Villate/>
Nos intervalos <math>1<s<2</math> e <math>5<s<6</math>, o valor da força é negativo (aponta no sentido em que ''s'' diminui). Nos pontos '''s = -1, s = 2 e s = 5''', a força é nula. A esses pontos é dada a denominação de [[pontos de equilíbrio]]. A energia mecânica não pode ser menor que '''-6,75'''. A reta horizontal corresponde a uma energia mecânica igual a '''2,25''' unidades. Admitindo que não existam forças não conservativas, essa energia permanece constante. Com essa energia, a partícula só poderá estar nas regiões em que:
<math>E_m\ge U(x)</math>
Nos pontos em que a reta horizontal (energia mecânica da partícula) corta a curva da energia potencial, a energia cinética será nula e, portanto, a partícula estará em repouso; no entanto a partícula não permanece em repouso por muito tempo, porque a força nesses pontos não é nula.<ref name=Villate/> Por exemplo, se num instante a partícula estiver na posição '''s = 5''', deslocando-se no sentido em que s aumenta, deslocar-se-á até um ponto perto de '''s = 6''' onde a partícula para; nesse ponto a força aponta no sentido negativo da distância, o que faz com que a partícula regresse para o ponto '''s = 5''', mas agora com velocidade no sentido negativo da distância. A partícula aproximar-se-á do ponto '''s = 3:8''', onde a sua velocidade será nula; nesse ponto, sendo a força no sentido positivo da distância, a partícula regressará à posição''' s = 5''' e o ciclo será repetido novamente.
== Energia potencial gravitacional ==
O [[peso]] é uma força conservativa.<ref name=Villate/>
Usando um sistema de coordenadas em que o eixo do ''z'' é vertical e aponta para cima, o peso é:
<math>\vec F = - \; mg\vec e_z</math>
O trabalho realizado por essa força entre dois pontos A e B é:
<math>W = \int\limits_{B}^{A}\vec F . d\vec r</math>
Em coordenadas cartesianas, o produto escalar entre a força e o deslocamento é:
<math>\vec F . d\vec r = mgdz</math>
e, portanto o integral desde A até B será um integral em ordem à variável z, desde Za até Zb:
<math>W = - \; mg\int\limits_{Zb}^{Za}dz = mgza - mgzb</math>
Este resultado mostra que o trabalho depende apenas das alturas inicial e final e o resultado será o mesmo independentemente do percurso seguido entre esses dois pontos.<ref name=Villate/> A energia potencial gravitacional, associada ao peso, é:
<math>U_g = mgz</math>
A escolha da origem é arbitrária: as alturas podem ser medidas em relação a qualquer ponto, sem ter que ser em relação ao solo.
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Uma mola elástica esticada ou comprimida exerce uma força dirigida na direção e sentido que faz regressar a mola à sua forma
normal.
O módulo da força exercida pela mola é diretamente proporcional à elongação da mola. Se pendurarmos um peso <math>P</math>, a mola é esticada até ficar numa posição em que a força elástica equilibra o peso. Duplicando esse peso duplica-se a elongação.
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\vec{F}_\mathrm{e} = -k\,z\,\vec{e}_z
</math>
em que <math>k</math> é a constante elástica da mola e a posição <math>z</math> é medida desde a posição em que não está a ser exercida nenhuma força sobre a mola.<ref name=Villate/>
A força elástica é uma força conservativa. Usando como ponto de referência o ponto <math>z=0</math> em que a mola tem o seu comprimento normal, a energia potencial elástica é:
<math>U_\mathrm{e} \quad = \quad -\int_0^x (-k\,z)\,\vec{e}_z\cdot\mathrm{d}\,\vec{r}\qquad \Rightarrow \qquad U=\frac{1}{2}k\,z^2
</math>
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==Ver também==
*[[Campo conservativo]]
*[[Energia potencial]]
{{Referências|col=2}}
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