|
Os elementos de espaço de Hilbert abstratos são chamados ''vetores''. Em aplicações, eles são tipicamente sequências de [[números complexos]] ou [[Função (matemática)|funções]]. Em [[Mecânica Quântica]], por exemplo, um sistema físico é descrito por um espaço de Hilbert complexo que contém os [[vetores de estado]], que contém todas as informações do sistema e complexidades multifocais.
== Definição e Exemplos == ▼
= Produto Interno =
SejaUm {{math|''X'espaço de Hilbert'''}} é um [[espaço vetorial]] sobrecom o[[produto corpointerno]] <math>que \mathbb{R}também </math>.é Umum [[produtoespaço internode Banach]] emcom {{matha [[Base canônica|''X''}}norma écanônica]] umadefinida aplicaçãopelo produto interno:
<math display="block">\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \rightarrow \mathbb{R} </math>
que satisfaz, para todos os vetores <math>x,y,z \in X</math> e para todo escalar <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>,
# <math display="block">\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle \geq 0 }.</math>
# <math> \langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x=0</math>
# <math> \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle </math>
# <math> \langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle </math>
# <math> \langle x+y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle </math>
O par <math>(X,\|\cdot \|)</math> é dito espaço com [[produto interno]]. Dessa forma, é possível definir <math>\|\cdot \|: X \rightarrow \mathbb{R} </math> por <math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}.</math>
'''Afirmação:''' <math>\|\cdot \| </math> é uma [[norma]] em {{math|''X''}}.
Com efeito, provaremos apenas a desigualdade triangular, pois a verificação dos demais axiomas de [[norma]] são imediatos. Para todos <math>x,y \in X</math>, usaremos a [[desigualdade de Cauchy-Schwarz]]: <math>\bigl|\langle x, y\rangle\bigr| \le \left\|x\right\| \left\|y\right\|</math>.
*Se <math>\left\{x,y\right\} </math> for linearmente dependente, então seja <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> de modo que <math>y=\lambda x.</math> Assim, <math>\bigl|\langle x, y\rangle\bigr| = \bigl|\langle x, \lambda x\rangle\bigr| = \bigl|\lambda \langle x, x\rangle\bigr|= \bigl|\lambda \bigr| \left\|x\right\|^2 = \left\|x\right\|(\bigl|\lambda \bigr| \left\|x\right\|) = \left\|x\right\| \left\|y\right\|.</math>
*Se <math>\left\{x,y\right\} </math> for linearmente independente, então para todo <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>. temos que <math>x-\lambda y \neq 0.</math> Assim, <math> \langle x-\lambda y, x-\lambda y\rangle > 0 </math> e <math> \langle x-\lambda y, x-\lambda y\rangle = \langle x, x\rangle - 2 \lambda \langle x, y\rangle + \lambda^2 \langle y, y\rangle </math>. Dessa forma, <math>\left\|x\right\|^2 - 2 \lambda \langle x, y\rangle + \lambda^2 \left\|y\right\|^2 </math>, então <math> 4\langle x, y\rangle^2 -4 \left\|x\right\|^2 \left\|y\right\|^2<0</math>. Logo, <math> \langle x, y\rangle^2 < \left\|x\right\|^2 \left\|y\right\|^2 \Rightarrow \bigl|\langle x, y\rangle\bigr| < \left\|x\right\| \left\|y\right\|</math>.
Agora é possível provar a desigualdade triangular. De <math>\langle x+y, x+y\rangle= \langle x, x\rangle+2\langle x, y\rangle+\langle y, y\rangle</math>, temos <math>\left\|x+y\right\|^2=\left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2+2\langle x, y\rangle \le \left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2+2\left\|x\right\|\left\|y\right\|=(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|)^2.</math> Segue que <math>\left\|x+y\right\| \le \left\|x\right\|+\left\|y\right\|</math>.
'''Proposição''' Se {{math|''X''}} um espaço vetorial e <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> é um [[produto interno]] em {{math|''X''}}, então <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> é uma função contínua.
''Demonstração.'' Sejam <math>(x_n)_n</math> e <math>(y_n)_n</math> sequências em {{math|''X''}} tais que <math> \lim_{n \to +\infty}x_n=x \in X</math> e <math> \lim_{n \to +\infty}y_n=y \in X</math>. Então
<math>\bigl|\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle\bigr|=\bigl|\langle x_n, y_n\rangle -\langle x_n, y\rangle +\langle x_n, y\rangle- \langle x, y\rangle\bigr| \le \bigl|\langle x_n, y_n\rangle - \langle x_n, y\rangle\bigr|+\bigl|\langle x_n, y\rangle - \langle x, y\rangle\bigr|=\bigl|\langle x_n, y_n - y\rangle\bigr|+\bigl|\langle x_n-x, y\rangle\bigr|</math>
<math>\le \left\|x\right\| \left\|y_n-y\right\|+\left\|x_n-x\right\| \left\|y\right\| \longrightarrow 0</math>, quando <math> n \to \infty</math>, pois <math> \lim_{n \to +\infty}x_n-x=0, \lim_{n \to +\infty}y_n-y=0</math> e <math> \left\|x\right\| </math> é limitado.
Dessa forma, conclui-se que <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> é uma função contínua.
▲= Definição e Exemplos =
Um espaço com [[produto interno]] que é completo na norma induzida por um produto interno é dito de '''espaço de Hilbert'''. Em particular, um '''espaço de Hilbert''' é um [[espaço de Banach]] com a norma induzida por um produto interno.<ref name="Kreyszig">E. KREYSZIG. Introductory Functional Analysis with Applications, New York John Wiley, 1989.</ref>.
'''Exemplo 1.''' O produto escalar usual em <math>\mathbb{R}^n</math> é um produto interno.
Para todo <math>x=(x_1, \cdots, x_n)</math> e <math>y=(y_1, \cdots, y_n)</math> em <math>\mathbb{R}^n</math>, defina
<math display="block">\langle \cdot, \cdot \rangle: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}, \langle x, y \rangle = x_1y_1+ \cdots + x_ny_n.</math>
A norma induzida por <math> \langle \cdot, \cdot \rangle </math> é <math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}=\sqrt{x_1^2+ \cdots+ x_n^2}, </math> sendo a norma usual de <math>\mathbb{R}^n</math>. Portanto, <math>(\mathbb{R}^n, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math> é um espaço de Hilbert, pois todo [[espaço normado]] de dimensão finita é um [[espaço de Banach]].
'''Exemplo 2.''' Seja o espaço <math> l_2 = \left\{ x = (x_i)_i: x_i \in \mathbb{R}^n \mbox{ para todo } i \in \mathbb{N} \mbox{ e } \sum_{i=1}^{\infty} \bigl|x_i\bigr|^2 < +\infty \right\}</math> com [[norma]] <math>\|x \|_2 = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}x_n^2} </math>.
Dados as sequências <math>x=(x_n)_n</math> e <math>y=(y_n)_n</math> em <math> l_2</math>, defina <math>\langle \cdot, \cdot \rangle: l_2 \times l_2 \rightarrow \mathbb{R}, \langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty}x_ny_n.</math> É fácil verificar que <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> é um produto interno e a norma induzida é <math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}=\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}x_n^2}=\|x \|_2.</math> Como <math> (l_2, \|x \|_2) </math> é um [[espaço de Banach]], conclui-se que <math> (l_2, \|x \|_2)</math> é um espaço de Hilbert.
'''Exemplo 3.''' Seja <math> c_{00}</math> o subespaço de <math> c_{0}</math> formado por sequências eventuamente nulas, onde <math> c_{0}</math> é o espaço das sequências que convergem para zero. Ou seja, <math> c_{00}= \left\{ x = (x_i)_i \in c_0: \mbox{ existe } i_0 \in \mathbb{N} \mbox{ tal que } x_i = 0 \mbox{ para todo } i \geq i_0\right\}</math>. Observe que <math> c_{00}</math> munido do produto interno do exemplo 2 é um espaço com produto interno, porém <math> c_{00}</math> não é completo. Dessa forma, não é um espaço de Hilbert.
O próximo resultado é muito útil para relacionar o produto interno com a norma por ele induzida.
'''Proposição (regra do paralelogramo).''' Sejam {{math|''X''}} um espaço vetorial e <math>\|\cdot\|</math> uma norma em {{math|''X''}}. Então <math>\|\cdot\|</math> é induzida por um produto interno <math>\Leftrightarrow \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math>, para todo <math>x,y \in X</math>.
''Demonstração.'' Se <math>\|\cdot\|</math> é induzida por um produto interno, então para todo <math>x,y \in X</math> temos:
<math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 =\langle x+y,x+y \rangle+\langle x-y,x-y \rangle=\langle x,x \rangle+2\langle x,y \rangle + \langle y,y \rangle + \langle x,x \rangle - 2\langle x,y \rangle + \langle y,y \rangle = 2(\|x\|^2+\|y\|^2).</math>
Reciprocamente, se uma norma <math>\|\cdot\|</math> em {{math|''X''}} satisfaz <math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math>, para todo <math>x,y \in X</math>, defina
<math display="block">\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \rightarrow \mathbb{R} \mbox{ por } \langle x, y \rangle = \frac{1}{4}\left( \|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).</math>
O leitor pode consultar neste material ([https://drive.google.com/file/d/1I7rIH7Rtm0cCKVuLNeWfFMdKurX123x5/view clique aqui]) e verificar as propriedades do produto interno.
'''Exemplo 4.''' Seja o espaço <math> l_{\infty} = \left\{ x = (x_i)_i: x_i \in \mathbb{R}^n \mbox{ para todo } i \in \mathbb{N} \mbox{ e } \displaystyle\sup_{i\in \mathbb{N}} |x_i| < +\infty \right\}</math> com [[norma]] <math>\|x \|_{\infty} = \displaystyle\sup_{i\in \mathbb{N}} |x_i| </math>.
O espaço <math> (l_{\infty},\|\cdot\|_{\infty})</math> é de [[Banach]], será que é de Hilbert também? Para isso, tome <math> x=(1,1,1, \cdots ) \in l_{\infty}</math> e <math> y=(-1,1,1, \cdots ) \in l_{\infty}</math>, e observe que <math>\|x+y\|_{\infty}=\|(0, 2, 2, \cdots)\|_{\infty}=2; \|x-y\|_{\infty}=\|(2, 0, 0, \cdots)\|_{\infty}=2; \|x\|_{\infty}=1; \|y\|_{\infty}=1</math>.
Assim, <math>8=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2\neq 2(\|x\|^2+\|y\|^2)=4</math>. Ou seja, <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> não satisfaz a regra do paralelogramo. Segue pela Proposição anterior que <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> não é induzida por um produto interno. Portanto, <math>(l_{\infty},\|\cdot\|_{\infty})</math> não é um espaço de Hilbert.
'''Exemplo 5.''' Seja o espaço <math> l_p = \left\{ x = (x_i)_i: x_i \in \mathbb{R}^n \mbox{ para todo } i \in \mathbb{N} \mbox{ e } \sum_{i=1}^{\infty} \bigl|x_i\bigr|^p < +\infty \right\}</math> com [[norma]] <math>\|x \|_p = \left(\sum_{n=1}^{\infty}x_n^p\right)^{\frac{1}{p}}, \mbox{ onde } 1 \leq p \leq + \infty</math>.
Note que <math> (l_p, \|x \|_p) </math> é um [[espaço de Banach]], se <math>\leq p \leq + \infty</math>. Então <math> (l_p, \|x \|_p) </math> é um espaço de Hilbert <math>\Leftrightarrow p=2</math>.
De fato, pelo Exemplo 2 tem-se <math>(\Leftarrow)</math>. A outra implicação <math>(\Rightarrow)</math> significa que <math>(l_p, \|x \|_p) </math> não é um espaço de Hilbert para <math>1\leq p \leq + \infty</math> e <math> p \neq 2</math>. Para isso, tome <math> x=(1,1,0,0,0, \cdots ) \in l_{p}</math> e <math> y=(1,-1,0,0,0, \cdots ) \in l_{p}</math>, e observe que <math> \|x\|_{p}=(1^p+1^p+0+0+\cdots)^{\frac{1}{p}}=2^{\frac{1}{p}}; \|y\|_{p}=(1^p+|(-1)|^p+0+0+\cdots)^{\frac{1}{p}}=2^{\frac{1}{p}}</math>. E ainda, de <math>x+y=(2,0,0,0,\cdots)</math> e <math>x-y=(0,2,0,0,\cdots)</math>, temos <math> \|x+y\|_{p}=(2^p)^{\frac{1}{p}}=2; \|x-y\|_{p}=(2^p)^{\frac{1}{p}}=2</math>.
Por contradição, suponha que <math>(l_p, \|x \|_p) </math> é um espaço de Hilbert para <math>1\leq p \leq + \infty</math> e <math> p \neq 2</math>. Agora, observe que <math>\|x+y\|_p^2+\|x-y\|_p^2=4+4=8</math>. Por outro lado, deveria valer a regra do paralelogramo: <math>2(\|x\|^2+\|y\|^2)=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=8</math>. E assim, <math>2[(2^{\frac{1}{p}})^2+(2^{\frac{1}{p}})^2)]=8 \Leftrightarrow 2^{\frac{2}{p}}+2^{\frac{2}{p}}=4 \Leftrightarrow 2^{\frac{2}{p}}=2 \Leftrightarrow p=2</math>. Absurdo, pois <math> p \neq 2</math>.
Como <math>\|\cdot\|_{p}</math> não satisfaz a regra do paralelogramo. Segue pela Proposição anterior que <math>\|\cdot\|_{p}</math> não é induzida por um produto interno. Portanto, <math>(l_{p},\|\cdot\|_{p})</math> não é um espaço de Hilbert para <math>1\leq p \leq + \infty</math> e <math> p \neq 2</math>.
'''Exemplo 6.''' <math>(C[a,b], \|\cdot\|_{\infty})</math> não é um espaço de Hilbert.
{{Referências}}
{{Álgebra}}
|
