Espaço de Hilbert: diferenças entre revisões
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Linha 76:
Somando as equaçôes do sistema acima obtemos a Lei do Paralelogramo <math>\blacksquare
</math>
==Propriedades==
===Identidade Pitagorica===
Dois vetores {{math|''u''}} e {{math|''v''}} em um espaço de Hilbert {{math|''H''}} são ortogonais quando {{math|1=⟨''u'', ''v''⟩ = 0}}. A notação para isso é {{math|''u'' ⊥ ''v''}}. De forma geral, quando {{math|''S''}} é um subconjunto de {{math|''H''}}, a notação {{math|''u'' ⊥ ''S''}} significa que {{math|''u''}} é ortogonal para todo elemento de {{math|''S''}}.
Quando {{math|''u''}} e {{math|''v''}} são ortogonais, tem-se
: <math>\|u + v\|^2 = \langle u + v, u + v \rangle = \langle u, u \rangle + 2 \, \operatorname{Re} \langle u, v \rangle + \langle v, v \rangle= \|u\|^2 + \|v\|^2\,.</math>
Por indução em {{math|''n''}}, isso se estende a qualquer família {{math|''u''<sub>1</sub>, …, ''u<sub>n</sub>''}} de {{math|''n''}} vetores ortogonais,
: <math>\left\|u_1 + \cdots + u_n\right\|^2 = \left\|u_1\right\|^2 + \cdots + \left\|u_n\right\|^2 .</math>
Considerando que a identidade pitagórica, conforme declarada, é válida em qualquer espaço com produto interno, a completude é necessária para a extensão da identidade pitagórica à série. A série {{math|∑''u<sub>k</sub>''}} de vetores ''ortogonais'' converge em {{math|''H''}} se e somente se a série do quadrado das normas converge, e
: <math>\left\|\sum_{k=0}^\infty u_k \right\|^2 = \sum_{k=0}^\infty \left\|u_k\right\|^2\,.</math>
Além disso, a soma de uma série de vetores ortogonais é independente da ordem em que é tomada.
== Bibliografia ==
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