Número hiper-real: diferenças entre revisões
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== Abordagem intuitiva ==
Os números hiper-reais foram introduzidos para dar rigor [[matemático]] a uma abordagem intuitiva do [[cálculo infinitesimal]].{{carece de fontes|data=abril de 2017}}
Pelo cálculo infinitesimal, a velocidade de uma partícula movendo-se de acordo com uma equação da forma, por exemplo, <math>y = t^2\,</math> pode ser calculada através da razão <math>\Delta y / \Delta t\,</math> para um valor de <math>\Delta t\,</math> que seja muito pequeno, porém maior que zero. O resultado desta conta é <math>v = \frac { \Delta y } {\Delta t} = 2 t_0 + \Delta t\,</math>, que difere do resultado esperado <math>2 t_0\,</math> pela quantidade pequena, porém não nula, <math>\Delta t\,</math>. Se esta quantidade for desprezada, chega-se ao resultado desejado.<ref name="keisler.p.23">[[H. Jerome Keisler]], ''Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin'', ''Real and Hyperreal Numbers'', ''Chapter 1'', ''1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line'' p.23 [https://www.math.wisc.edu/~keisler/chapter_1b.pdf <nowiki>[pdf]</nowiki>]</ref>
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Os números hiper-reais satisfazem o [[princípio da transferência]], uma versão rigorosa da [[lei da continuidade|Lei da Continuidade]] heurística de Leibniz. O princípio da transferência afirma que as verdadeiras declarações de [[Lógica de primeira ordem|primeira ordem]] sobre '''R''' também são válidas no *'''R'''. Por exemplo, a lei comutativa da adição, ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x'', vale do mesmo modo para os hiper-reais e para os reais; desde que '''R''' seja um [[real closed field|campo real fechado]], então é *'''R'''. Desde que <math>\sin{\pi n}=0</math> para todos os inteiros ''n'', há também um <math>\sin{\pi H}=0</math> para todos [[hipper-inteiro|hiper-inteiros]] ''H''. O princípio da transferência para ultrapotências é uma consequência do [[Łoś' theorem|Teorema de Łoś']] de 1955.
Preocupações sobre a [[Correção]] de argumentos envolvendo números infinitesimais remonta a antiga matemática Grega, com [[Archimedes]] trocando essas provas com as que usavam outras técnicas como o [[método da exaustão]].<ref>Ball, p. 31</ref> Nos anos de 1960, [[Abraham Robinson]] provou que hiper-reais eram logicamente consistentes [[se e somente se]] os reais fossem. Isso amenizou o medo de que qualquer prova envolvendo infinitesimais pudesse ser defeituosa, fornecendo que elas eram manipuladas de acordo com as regras de lógica as quais Robinson delineou.
A aplicação dos números hiper-reais e, em particular, o princípio da transferência para problemas de [[análise matemática|análises matemáticas]] são chamados de [[Análise não padronizada|análises não padronizadas]]. Uma aplicação imediata é a definição dos conceitos básicos de análises como derivação e integração de forma direta, sem passar por complicações lógicas de múltiplos quantificadores. Portanto, a derivada de''f(x)'' se torna <math>f'(x) = {\rm st}\left( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right)</math> para um infinitesimal <math>\Delta x</math>, onde ''st(·)'' denota um função padrão, que associa a todo hiper-real finito um único real infinitamente perto dele. Similarmente, a integral é definida como parte padrão da soma infinita adequada.
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